أكثر التداولات لليوم سعر صرف دينار كويتى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل دينار تونسي اليوم - سعر صرف يورو مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل ليرا تركيا اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف يورو مقابل دينار تونسي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل ريال يمنى اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل درهم مغربي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف يورو مقابل درهم مغربي اليوم - سعر صرف دينار اردنى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف يورو مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دينار كويتى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف يورو مقابل ليرا تركيا اليوم - سعر صرف دينار اردنى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دينار ليبي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل الروبية الاندونيسية اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف ريال عمانى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف يورو مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف ريال قطري مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف درهم اماراتى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل يورو اليوم - سعر صرف دينار تونسي مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف دينار اردنى مقابل شيكل اليوم - سعر صرف دينار كويتى مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل دينار تونسي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دينار كويتى اليوم - سعر صرف دينار عراقي مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف يورو مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف فرانك سويسري مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل ليرة تركية جديدة اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل CFA الفرنك (BCEAO) اليوم - سعر صرف الوون الكوري مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف جنية مصري مقابل جنية قبرصي اليوم - سعر صرف جنية مصري مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دينار بحرينى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل الروبية الاندونيسية اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دينار تونسي اليوم - سعر صرف درهم مغربي مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل دينار عراقي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دينار عراقي اليوم - سعر صرف الدينار الجزائري مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف الجنية الأسترلينى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف درهم اماراتى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل الوون الكوري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل ليرا تركيا اليوم - سعر صرف دينار عراقي مقابل ليرة تركية جديدة اليوم - سعر صرف CFA الفرنك (BCEAO) مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف يورو مقابل CFA الفرنك (BCEAO) اليوم - سعر صرف رينغيت ماليزي مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل درهم مغربي اليوم - سعر صرف يورو مقابل دينار كويتى اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل كرونا سويدي اليوم - سعر صرف جنية مصري مقابل دينار اردنى اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل شيكل اليوم - سعر صرف دينار بحرينى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف ريال قطري مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار كندى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل دينار ليبي اليوم - سعر صرف درهم اماراتى مقابل درهم مغربي اليوم - سعر صرف الوون الكوري مقابل شيكل اليوم - سعر صرف الوون الكوري مقابل دينار ليبي اليوم - سعر صرف فرانك سويسري مقابل يورو اليوم - سعر صرف دينار كويتى مقابل ليرا تركيا اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف دولار كندى مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف فرانك سويسري مقابل جنية مصري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل روبي الهند اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل روبيل روسيا اليوم - سعر صرف دينار كويتى مقابل يورو اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل الوون الكوري اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل يورو اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل روبيل روسيا اليوم - سعر صرف شيكل مقابل ليرة تركية جديدة اليوم - سعر صرف اونصة الذهب مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل رينغيت ماليزي اليوم - سعر صرف درهم مغربي مقابل الدينار الجزائري اليوم - سعر صرف ليرا تركيا مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف ريال يمنى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل دينار اردنى اليوم - سعر صرف درهم مغربي مقابل بيزو أوروجواي جديدة اليوم - سعر صرف دينار كويتى مقابل ريال قطري اليوم - سعر صرف ريال سعودي مقابل بيزو فلبينى اليوم - سعر صرف ريال عمانى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف ين يابانى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار استرالى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف جنية مصري مقابل دولار امريكي اليوم - سعر صرف دينار ليبي مقابل درهم مغربي اليوم - سعر صرف يوان الصينى مقابل ريال سعودي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل أوكرانيا الهريفنيا اليوم - سعر صرف يورو مقابل ريال قطري اليوم - سعر صرف يورو مقابل دينار عراقي اليوم - سعر صرف دولار امريكي مقابل روبي الهند اليوم - سعر صرف الوون الكوري مقابل دينار عراقي اليوم - سعر صرف جنية مصري مقابل بيزو فلبينى اليوم - سعر صرف كرونا سويدي مقابل دولار امريكي اليوم -
أعلانات الحراج العارضيه قسايم - خلو سلوى ق ظ¤ - للبيع سيارة تويوتا كامري 2007 بالكويت - ميتسوبيشى كانتر 2012 للبيع بالكويت - للبيع بيت فى الجابريه - هديه - للبيع سيارة نيسان التيما بالكويت - للبيع فلل في المسايل الفنيطيس ابو فطيرة - للبيع. فيلا بو فيطره ع الأسود. ...... - جابر الاحمد - صباح السالم - الرقه - حطين - للبيع بيت في الفحيحيل - للبيع فلتين مشاع في المنصوريه مساحة 750 م - ًںڈ¤ للبيع بالعيون ثلاث ادوار ونصف - للبيع قسايم في النسيم الجديده - للبيع فلل مبارك الكبير الفنطاس بيت الرقه قرطبه شقه المهبوله اراضي لؤلؤة الخيران اسثماري تجاري - للبيع في مبارك الكبير ومدينة صباح الأحمد - للبيع بيت بالرحاب دورين شارع وسكه محول نظيف جداا - للبيع قسيمة مبارك الكبير قظ§ - للبيع في صباح الاحمد علي التوقيع - للبيع في الجهراء النعيم حكومي للبدل ارضي غرب عبدالله مبارك - للبيع بيت حكومي في مدينه صباح الاحمد بطن وظهر علي الرواق مقابل القسايم - للبيع بيت في الدوحة - للبيع فيلا شمال غرب الصليبخات ظ£ شوارع - القصر - للبيع أرض في الفنطاس الزراعي - السعر لأعلى سوم - بيان - للبيع حكومه البيوت الصفر جليب الشيوخ - للبيع بيت حكومي في مدينه صباح الاحمد بطن وظهر علي الرواق مقابل القسايم - جواخير الوفره - للبيع بيت بالقرين ومبارك الكبير - مطلوب بيت في صباح الناصر او اي منطقه قريبه منها بالمعقول - للبيع بيت حكومي في مدينه صباح الاحمد بطن وظهر علي الرواق مقابل القسايم - مطلوب شقه ب ظ¦ظ¥ الف كاااش - بيت دورين وسرداب مفصولين العدان قطعة 2 - للبيع شقه بالجابريه حق قرض مرآة مساحهظ،ظ ظ، متر - مطلوب في الصباحية او الرقة او ام الهيمان والدفع كاش - للبيع فلل بالفنيطيس ابو فطيرة المسايل - للبيع في مبارك الكبير ومدينة صباح الأحمد - للبيع بيت فى الفردوس ق2 زاوية وجابر الاحمد حكومى والرابية والاندلس - مدينة صباح الاحمد البحرية لؤلؤة الخيران - المهبولة - بيت بالعارضية - الظهر قطعة ظ£ - الفنيطيس فيلا - متخصصون في البيع - للبيع عمارة نظيفة حولي - للبيع باص نيسان اورفان فان مقفل 2016 بالكويت -
الجديد فوائد التمر والحليب - كيف توفر العديد من المال على نفسك ؟ - كيف تبداء بمشروع صغير وناجح ؟ - كيف تصبح غنياً ؟ - كيف توفر المال ؟ - طريقه التخلص من سواد الابط - ما هي فوائد الخل للشعر ؟ - طريقه سهله لازاله البقع من السجاد -
آخر المشاهدات طريقة عمل سندويشات الفاهيتا من حلقات برنامج منال العالم - موقعة فخ أسباب المعركة ووقائعها - كله من أجل الحب (مسرحية) - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج الصابون السائل - يا حلوة مع السلامة (أغنية) Bella Ciao - بريجيت رايلي - هاتف وعنوان مستوصف الكرامة الأهلي - النسيم, مدينة الرياض - الخوجة علي رضا - هاتف وعنوان مركز وعد النسائي - الخبر, مدينة الخبر - طريقة عمل تارت الدجاج بالفطر اشهى وصفات رمضان من منال العالم - هاتف وعنوان مكتب الباحة للإستقدام - الباحه, الباحة - هاتف وعنوان مستوصف التضامن الطبي - عريجا, مدينة الرياض - حمامات أنطونيوس بقرطاج - معركة وادي الصفراء - العربي بن مهيدي نشأته - طريقة هيلين دورون معلومات تاريخية - خصائص الوصف انواع الوصف - هاتف وعنوان مكتب الزهير للإستقدام - خميس مشيط, عسير - طريقة عمل رز بالتونة يجنن بطعم لذيذ لا تفوتك - قائمة أفلام والت ديزني الأفلام حسب العقد - الكرة الذهبية وقصص أخرى القصص - فحص وظائف الرئة دواعي اختبار وظائف الرئة - عائذ نسبها - اسباب وعلاج كبر محيط راس الطفل او كبر حجم الرأس عند الاطفال - هواتف وأرقام مطاعم ومطابخ عسير بالدمام و العنوان - الدوري الذهبي 2006 الفائزون - هاتف وعنوان محل غاز الجزيرة - تاروت, الدمام - تطور دلالي عوامل التطور الدلالي - وليم ستانلي جيفونز الدراسة - طريقة عمل عصيرالليمون الحامض المطبوخ بطعم لذيذ لا تفوتكم - هاتف وعنوان مستوصف الرعاية الطبية الشاملة - بيشه, عسير - مورغان سايلور عن حياتها - اهم انواع مقصات الخياطة وكيفية استعمالها - طريقة اعداد مربى خرز البقر بالذ طعم خطوة بخطوة - تجربة كافنديش التجربة - [بحث جاهز للطباعة] مخاطر الاستعمال المفرط للاسمدة ، واكثار السلالات المرغوبة . - - الرفراكتوميتر نظرية العمل - براقي الجغرافيا - ابن النقيب - معركة الاصنام بشلف موقع الاصنام - هاتف و معلومات عن مستشفي الدار قباء بالمدينة المنورة - هاتف و معلومات عن مستشفي د. حامد سليمان الأحمدي بالمدينة المنورة - وصفة لعلاج سلس البراز بالاعشاب الطبيعية - هواتف شركة سعد المبطى وشركاه للمقاولات ومعلومات عنها بالسعودية - هاتف وعنوان مطعم شادي - الشعبه, مدينة الرياض - طريقة عمل مشروب الروينه بطعم لذيذ - الليث بن المظفر الكناني نشأته - نموذج إستمارة طلب ترخيص / تعديل لإقامة مشروع صناعي (ثلاث سنوات) بالسعودية - لغة تركية التصنيف - الفتق الإربي اسبابه واعراضه ومضاعفاته - طريقة تحضير الماسية بالحليب طبق من سوريا خطوة بخطوة - ما هى واجبات المسعف - دورة تعليم الاسعافات الاولية - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الإسهال والقيء بالاعشاب - طريقة عمل الشاكرية الشامية من مطبخ منال العالم - قائمة المخترعين واختراعاتهم - طريقة تحضير فاهيتا الدجاج من الشيف منال العالم - هاتف وعنوان مفروشات عبد الواحد البكيري - بلجرشي, الباحة - حلق عميق - حماية التركيبات الكهربائية من تيار التسرب الأرضي بالسعودية - هاتف وعنوان شركة اسماعيل ابو داوود للتجارة - الديره, مدينة الرياض - الكرة الحديدية قواعد اللعبة - نمو ثانوي النمو الثانوي الشاذ - هاتف وعنوان مطعم البيت العربي للمندي - خميس مشيط, عسير - هاتف وعنوان مؤسسة عبد المحسن علي المبارك - الناصريه, مدينة الرياض - قائمة مطارات العراق المطارات العسكرية - دالة بيسل تطبيقات دالة بيسل - زمن البرغوت 2 (مسلسل) قصة المسلسل - [بحث جاهز للطباعة] تلوث الماء - - الفريش الجغرافيا - ساحة الطبقجلي أصل التسمية - ماريا دل كارمن (مسلسل) القصة - طريقة تحضير حلى كوكيز بالشوكولاتة السريعة للشيف منال العالم - جوليانا بايس - نبات حولي النباتات الحولية - هيئة تسليح القوات المسلحة (مصر) النشأة - كيف تكون رجل مبيعات ناجح للدكتور ابراهيم الفقي - وصفة لعلاج الربو و حساسية الصدر بالاعشاب الطبيعية - هاتف وعنوان شركة حمد العيسى وأولاده للأجهزة المنزلية - خميس مشيط, عسير - ازالة الام الركبة باستخدام زيت السمسم - الرباط باعشن (دوعن) ال باعشن - جو هيسايشي - مبدأ التعاقب الطبقي - معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة - سهير العلي السيرة الذاتية - هاتف وعنوان مستوصف العروبة الطبي - الشفا, مدينة الرياض - السخرية في شعر أحمد مطر نبذة عن أحمد مطر - طريقة عمل الفريكة الدايت اكلة خفيفة للريجيم - فيزا عمل للسعودية ,, شروط واجراءات استخراجها - هاتف وعنوان مستوصف الخالدية الطبي - المنصور, مكة المكرمة - قبيلة الشويحات نسبهم - علاج التهاب الحلـق بالاعشاب - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج منتجات الألبان - معلومات هامة عن سلالة دجاج الفيومى - جذر نبات أهم وظائف الجذر - السابقون الأولون أسماء السابقين الأولين - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الأكزيما بالاعشاب - إدارة النوادي والفنادق للقوات المسلحة (مصر) دور القوات المسلحة - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج جاهز كامل , مشاريع تخرج جاهزة كاملة - - هاتف ومعلومات عن مطعم الناجي بالرياض - هاتف وعنوان مستوصف الفيحاء - النسيم, مدينة الرياض - تعليم اللغة الانجليزية - الاعشاب والطب البديل فى علاج علاج قصر القامة وضعف النمو - أمراض العين الفيروسية الفيروسات الغدانية - هاتف وعنوان مشغل دنيا المرأة للأزياء - الخبر - روبوت نظرة عامة عن الروبوت - صيدا أصل التسمية - هاتف وعنوان مستوصف الأقصى- الرونه, عسير - ليونارد بلومفيلد نشأته ودراسته - طريقة عمل لقيمات المقلية الحجازية لا تفوتك - كلية الاقتصاد في جامعة حلب - طريقة عمل الهريش اليمني بطعم لذيذ - قائمة ممثلين هاري بوتر طاقم - [بحث جاهز للطباعة] أروع بحث عن الطاقة الشمسية - - هاتف وعنوان مستشفى عبيد التخصصي - الملز, مدينة الرياض - تفاقم أمراض العصر «الاستقلابية» - قائمة رؤساء النيجر قائمة رؤساء النيجر - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الصدفية بالاعشاب - لانثانيدات الخواص الكيميائية - هاتف ومعلومات عن شركة ابن معمر للنقل والسفريات بالرياض - طريقة عمل القشاط بطعم لذيذ - طريقة تحضير مجدّرة صفراء / عدس أصفر اكله لبنانيه خطوة بخطوة - مؤلفات الإمام النووي مؤلفات الإمام النووي - المخروط الدوراني - ورشة بناء العوامل المساهمة في تنظيم الورشات - طبقات المياه الجوفية عمق الطبقة الجوفية - طريقة عمل مرق القرع وصفة رمضانية لذيذة من منال العالم - قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي - هاتف وعنوان مطعم كودو - المرسلات, مدينة الرياض - هواتف مكتب الضمان الاجتماعى بجده ومعلومات عنها بالسعودية - هاتف وعنوان مشغل برونز النسائي - العليا, مدينة الرياض - طريقة تحضير الزيتون الاخضر - هاتف وعنوان مطعم كانون الكباب البلدي - الصفا, جدة - هاتف وعنوان المستشفى التخصصي بأبها - ابها, مدينة ابها - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج امراض القدم والارجل بالاعشاب - سناء قديح - طرق معالجة سعفة الجسد التى تصيب الاطفال - وصفة لعلاج التهاب المفاصل و آلام العضلات بخلطات الاعشاب - وصفات تعمل بالمنزل - سونلغاز تاريخها - جزيرة الكنز ملخص الرواية - [بحث جاهز للطباعة] بحث كامل عن الغزل في الشعر العربي ، الغزل في الشعر العربي عصوره، وتطوره - - شمشي أدد الخامس ثورة الفلاحين - عمق الحقل العوامل المؤثرة في عمق الحقل (عمق الميدان) - لهجة ديرية تاريخها - الشركه المصريه لصناعة الورق - ثنائي كرومات البوتاسيوم التاريخ - حلقات الديك نصائح للاستعمال - تلبيسة الاسنان .. هل يمكن ازالة التلبيسه الدائمه؟ - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع ثلاجات التخزين - تكامل حجمي الصياغة الرياضية - الرتب العسكرية للقوات المسلحة (اليمن) القانون - لوحات تسجيل المركبات في تونس أصناف سلاسل التسجيل في تونس - هاتف وعنوان مستوصف الامل - ينبع البحر - ينبع - اختصاص مكاتب السجل التجاري فى فىمنطقة حائل بالسعودية - هواتف مستشفى الصحة النفسية و معلومات عنها فى بجــــــازان بالسعودية - هاتف و عنوان مستشفى بريده المركزي و معلومات عنها بالقصيـم بالسعودية - هاتف وعنوان البيت العربي للمندى والمشوي -الجبيل - القوة الخاصة 2 - حكاية الوعد الصادق - شبرا بخوم التاريخ - هيدروكسيد النحاس الثنائي الخواص - حرب الزبارة وبوشهر (1782-1783) الخلفية التاريخية - مصنع سكر كنانة الموقع - هاتف وعنوان مطعم احلام المسافر - الخفجي, الجبيل - دارة التوالي أو التوازي مثال - رحلات غوليفر ملخص القصة - هاتف وعنوان مطعم العتيق - بريده, القصيم - خماسي أضلاع الخماسي المنتظم - طرق توزيع الأدوات و الأواني في المطبخ - قبيلة ايت اوسى أيــتوســـى - للاستعلام عن رقم هاتف بالكويت عن طريق الانترنت - طريقة عمل وصفة الكراوية من منال العالم - هاتف وعنوان شركة مستشفى المغربي للعيون - خميس مشيط, عسير - طريقة عمل الصلصة البيضاء على طريقة منال العالم - الشروط الواجب توفرها للحصول على تأشيرة العمرة من السفارة السعودية بالمغرب - ملخص عن أضرار التدخين وانعكاساته على صحة المجتمع - هاتف وعنوان مستوصف علي الجديعي الطبي - الخبر, مدينة الخبر - طريقة عمل السبيط المقلي بطريقة اشهر المطاعم - مكيف الهواء أساسيات جهاز مكيف الهواء - هاتف وعنوان مستوصف السليماني الطبي - النزله, جدة - هاتف وعنوان مستوصف الرأي الطبي - الخليج, الدمام - المتممات المجرورة - ملالا يوسفزي حياتها - هاتف وعنوان مستوصف الذكير - حى ابن خلدون, الدمام - هاتف و معلومات عن مستوصف د.كايد احمد الكايد بالمدينة المنورة - معاني \" أو \" في اللغة العربية معاني أو العاطفة في اللغة العربية - غامد نسب قبيلة غامد - هاتف وعنوان مكتب المسحل للإستقدام - عنيزه, القصيم - الصوح (شقراء) - طريقة تحضير الكانيلوني من الشيف منال العالم - إذاعة المدينة إف إم فريق العمل - بودهيدهارما - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج ملابس جاهزة - أنسجة نباتية الأنسجة المولدة - مساعد طبيب نظرة عامة - منظور لوني المنظور اللوني من حيث شدة اللون - محاولة انقلاب 1955 في السعودية - طريقة اعداد بطاطا مرحية بيري بالذ طعم خطوة بخطوة - هاتف وعنوان مستوصف ركن العلاج لطب وتقويم الأسنان - الشفا, مدينة الرياض - هاتف وعنوان شركة عالية التجارية - العليا, مدينة الرياض - الكواسر (مسلسل) ملخص المسلسل - شراء لويزيانا -
اليوم: السبت 21 ابريل 2018 , الساعة: 2:50 م
آخر تحديث للموقع قبل 1 شهر و 9 يوم

اسعار صرف العملات ليوم السبت 21/04/2018


اعلانات
موضوع اليوم
فوائد واضرار الشمر فوائد واضرار الشمر تُعتبر مصر وسوريا من أكثر البلدان العربيّة إنتاجاً للشمر، ويحتوي الشمر على العديد من المواد والمركّبات التي تجعله من النباتات الغذائيّة والطبيّة المهمة، ومعروف برائحته ال
0 تعليق
هنا يظهر الأكثر مشاهدة خلال 24 ساعة

مسألة البائع المتجول تعريف

نشر قبل 1 سنة و 6 شهر 172 مشاهدة


اعلانات

شاركنا رأيك بالموضوع

تعريف


ليكن G (V,A) مبيان مخطوطا حيث تمثل V مجموعة الرؤوس (vertices) و-A مجموعة الأضلاع (edges). ولتكن C (c_ ij ) مصفوفة الأوزان أو الأطوال أي أنه c_ ij هو الوزن الذي على الضلع الذي بين i و- j أو طول الضلع. ومسألة البائع المتجول حينها تسأل اذا ما هناك دائرة تعبر في كل رأس مرة واحدة فقط حيث أن وزن الدائرة اقل ما يمكن ؟

ملاحظات



  • تسمى الدائرة التي نريدها دائرة هاملتونية

  • في بعض المسائل سيتعين علينا أن نميز بين مصفوفة أطوال متناظرة اي forall i,j in V, c_ ij c_ ji وبين مصفوفة غير متناظرة

  • خاصية غير الزامية للمصفوفة C هي خاصية متباينة المثلث وهي forall i,j,k in V , c_ ij +c_ jk ge c_ ik


وهذه الخاصية تتبين في مسألة البائع المتجول الاقليدية اي عندما تكون الرؤوس نقاط في mathbb R ^2 والاطوال بين الرؤوس اي اطوال الأضلاع هو البعد الاقليدي اي انه اذا v (x_1,y_1) , u (x_2,y_2) حينها طول الضلع uv هو d_ uv sqrt (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

NP كاملة


لقد تبين ان مسألة البائع المتجول هي مسألة كاملة بالنسبة ل-NP , بحيث انه يوجد دالة تحويل او اختصار (reduction function) بين الحد الأدنى للدائرة الهاملتونية وهذه المسألة

لنفرض انه معطى معنا مُدخل لمسألة الدائرة الهاملتونية(HC) نريد ان نبني اختصار بوقت حدودي والمُدخل لمسألة HC هو مُخطط G (V,A) بحيث ان V 1,...,n ,A (i,j) نبني مُدخل لمسألة TSP بالشكل التالي نبني مُخطط G , بحيث ان مجموعة الرؤوس هي V اما مجموعة الأضلاع هي A' (i,j) i,j 1,...,n,i
eq j و c_ ij 1 اذا (i,j) in A و- c_ ij infty
في سائر الأحوال , وحينها المخطط G يحوي دائرة هاملتونية اذا وفقط اذا قيمة مُدخل TSP هي n

مسائل TSP سهلة



  1. اذا كانت مصفوفة الأطوال مصفوفة مثلثة عُلوية اي forall i ge j , c_ ij 0

  2. اذا كان المخطط , G , شجرة او مسار او دائرة او نجمة حينها أيضا يمكن حل المسألة بسهولة

  3. نعرف مصفوفة C ان تكون صغيرة اذا forall i in 1,...,n ,exists a_i,b_i c_ ij min a_i,b_j forall i,j in [n] حينها اذا كانت مصفوفة الأطوال صغيرة يمكن حل المسألة بوقت O(n)


خوارزميات دقيقة لحل المسألة


الحل المفهوم ضمنا وهو انتاج كل المسارات الدائرية ثم اختيار الأفضل هو حل غير قابل للتشغيل بسرعة إذ ان تعقيده O(n!) واذا كان فقط n 60 حينها سيكون هنالك احتمالات اكثر من ان نستطيع ان ننتجها(حدود الطاقة الحسابية للبشر على مر العصور هو 2^ 80 وهذا العدد اصغر بكثير من 60! ) ولان الحل الجشع لا يمكن انتاجه بجودة عالية وسرعة ملائمة تم تطوير الكثير من الوسائل لحل المسألة وسنعدد بعضها

البرمجة الخطية


طور فلكرسون وجونسون ودانتزيج هذه الطريقة وهي لكل ضلع في المخطط نخصص متغير x_ ij وهو 1 اذا وفقط اذا الضلع من ضمن الحل الأفضل للمسألة وقد كان تعريف مسألة البرمجة الخطية كالتالي

sum_ i
eq j c_ ij x_ ij Minimize



Subject to





  1. sum_ j 1 ^n x_ ij 1 ,i 1,...,n


  2. sum_ i 1 ^n x_ ij 1 ,j 1,...,n


  3. sum_ i,jin S ^n x_ ij leq S -1,Ssubset V ,2 le S le n-2


  4. x_ ij in 0,1 ,i,j 1,...,n,i
    eq j



توضيحات



  1. من الواضح ان دالة الهدف هي مقياس لوزن الدائرة التي نريد ايجادها , وذلك لان كل x_ ij يمكن ان يكون 1 او 0 , اي ان ضلع يمكن ان تكون بالحل وبالتالي نضيف وزنها (وحينها x_ ij 1 ) او يمكن الا يكون بالحل ثم بالتالي x_ ij 0 اي انه لن نحسب وزن الضلع .

  2. القيود(Constraints) في السطر 1+2 هي تحدد ان كل رأس (vertex) نستخدمه مرة واحدة في الحل اي ان لكل رأس درجة الخروج ودرجة الدخول اليه على الاكثر 1 .

  3. اما القيد 3 فهو يدعى الغاء المسارات الدائرية القصيرة اي مسارات دائرية بطول اقل من n , وذلك لانه اذا كان هناك مسار دائري أقصر من n على مجموعة جزئية S من الرؤوس حينها سيحوي هذا المسار الدائري على S اضلاع , وحينها القيد 3 لن يتحقق لذا لا يمكن ان نجد حلا أقصر من المرغوب به , وانتبه أيضا ان مسار دائري بطول 1 لا يمكن ان يكون حلا وذلك حسب قيود 1+2 (وبالتالي كذلك ل-n-1) لذا فانه مسموح وضع القيد 2 le S le n-2

  4. اما القيد الأخير فهو لبيان ان كل ضلع يمكن ان تكون بالحل الأمثل او لا اذا كان الضلع في الحل حينها يكون قيمة المتغير 1 وخلاف ذلك 0 .

  5. يمكن استبدال قيد 3 بالقيد التالي sum_ i in S sum_ j in overline S x_ ij ge 1 , S subset V,2 le S le n-2



لحل هذه المسألة الخطية يمكن استخدام اي وسيلة لحل المسائل الخطية على الاعداد الكاملة ولكن هذه الخوارزمية لا يمكن ان تحله بوقت حدودي إذ انه يوجد n(n-1) متغيرات و- 2n قيود درجة (1+2) و 2^n-2n-2 قيود على طول المسارات (3) لذا فانه لا يمكن حلها بشكل مباشر ما يحتم علينا استخدام طرق اخرى .

لتخفيف كمية القيود كانت هناك حاجة لتغيير هذه البرمجة الخطية واستبدالها بمسألة خطية اخرى مع كمية قيود اقل وقد كان هذا وسميت البرمجة الخطية MTZ على أسماء كاتبيها . وكان الحل باضافة متغيرات اضافية




  1. u_i-u_j+(n-1)x_ ij le n-2 , forall i,j in 2,...,n ,i
    eq j

  2. 1 le u_i le n-1 , forall i in 2,...,n



توضيح



  1. القيد الأول منهما لضمان انه لا يوجد مسار دائري جزئي على المجموعات الجزئية S subseteq V setminus 1 لذا فانه لا يوجد مسارات دائرية جزئية طولها اقل من n

  2. القيد الثاني يضمن ان كل u_i معرف بشكل واحد ووحيد لكل حل ممكن .



ملاحظات



  1. تبين ان البرمجة الخطية MTZ اضعف من البرمجة الاولى لانه تم برهنة انه في بعض الحالات القيمة التي يمكن ان ينتجها MTZ تكون اقل منها في البرمجة الاولى .

  2. يمكن تقوية MTZ باضافة u_i-u_j+(n-1)x_ ij +(n-3)x_ ij le n-2 , forall i,j in 2,...,n ,i
    eq j بدل القيد الأول .



فرق تسد(Branch and Bound)


يمكن استخدام هذه الوسيلة لحل مسألة البائع المتجول (TSP) . في مجال البرمجة الرياضياتية يمكن النظر إلى هذه الوسيلة من الجهة التالية اولا تخفيف بعض القيود ثم اخذ الناتج وحله بطريقة سريعة وجيدة . حينها جودة وسيلة فرق تسد تكون من كمية الحد الأقصى لكل مجموعة قيود نقصيها . اما بالنسبة لمسألة TSP بداية يمكن تخفيف قيود 3 وارجاء باقي القيود والتي تشكل معا مسألة التلائم(assignment probl ) والتي يمكن حلها بشكل دقيق بوقت O(n^3) لذا فان القيمة السفلى لمسألة البائع المتجول هي مسألة التلائم سوف نستخدم هذه المسألة لنركب خوارزمية بطريقة فرق تسد


سوف نستخدم الامور التالية



  1. z^* أفضل قيمة ل TSP وجدناها حتى اللحظة .

  2. z_h قيمة دالة الهدف لمسألة التلائم(AP) في الرأس h في شجرة البحث ,

  3. underline z_h قيمة سُفلى ل- z_h

  4. I_h مجموعة الأضلاع ضمن الحل في الرأس h من شجرة البحث

  5. E_h مجموعة الأضلاع التي ليست ضمن الحل في الرأس h من شجرة البحث



الخوارزمية


الخطوة 1 (الابتداء) حصِّل على قيمة اولية ل- z^* بمعنى ان نستخدم طريقة حدس مهني الحدس المهني (Heuristic) توصلنا للحل , ابدأ في الرأس 1 من شجرة البحث و I_h E_h ptyset واحصل على z_1 بحل المسألة AP , اذا z_1 ge z^* توقف الحدس المهني يعطي الحل الأمثل . واذا حل AP لا يحوي مسارات جزئية دائرية توقف لانه يعطي الحل الأمثل . خلاف هذا ضع 1 في طابور



الخطوة 2 (اختيار الرأس (vertex)) اذا الطابور فارغ , توقف . خلاف هذا اختر رأس (vertex) من الطابور .



الخطوة 3 (تقسيم المسألة الجزئية) الحل الموجود في الرأس h هو حل غير جائز ويجب ازالته بتقسيم المسألة الحالية لمسائل متجاورة h_r التي تتميز بالمجموعتين I_ h_r و- E_ h_r . وحتى نُنتج هذه التقسيمات , فليكن مسار دائري جزئي يحيث انه على الاقل s اضلاع لا تحويها I_ h لنفرض ان هذه الأضلاع هي (i_1,j_1),...,(i_s,j_s) حسب الترتيب التي تظهر في المسار الجزئي وحينها انتج s مسائل جزئية عندما



I_ h_r
egin cases


I_ h_r ,mbox r 1 \


I_h cup (i_u,j_u) u 1,...,r-1 ,r 2,...,s

end cases



E_ h_r E_h cup (i_r,j_r) , r 1,...,s


نفذ الخطوات 4 حتى 6 لكل r 1,...,s


الخطوة 4 احسب حد اسفل underline z_h ل-z_h عن طريق تخفيض عامود وسطر من مصفوفة الأوزان واذا underline z_h le z^* اكمل للخطوة 5 خلاف هذا اعد الخطوة 4 عندما r r+1 .



الخطوة 5 حل المسألة الجزئية التي في h_r واذا z_ h_r ge z^* عد إلى 4 عندما r r+1 .



الخطوة 6 افحص اذا ما الحل الحالي يحوي على مسائل جزئية اذا كان كذلك ضع h_r في الطابور خلاف هذا z^* z_ h_r احفظ المسار واذا z^* z_h اذهب إلى 2 .



خوارزميات تقريب


وهي خوارزميات لا تعطي جواب دقيق ولكنها تعطينا جواب لنفرض انه S ونفرض انه *S هو الحل الأمثل حينها alpha frac S S^* ,هو البعد عن الجواب الأمثل . للاسف لمسألة البائع المتجول لا يوجد خوارزميات تقريب سريعة الا اذا NP P , وهذا لانه اذا كان هناك واحدا كهذا فهو حتما سوف يحل مسألة المسار الدائري الهاملتوني , والأسوأ من هذا انه حتى اذا alpha O(2^n) سينتج عن هذا ان NP P !
بالرغم من هذا فان مسألة البائع المتجول مع خاصية متباينة المثلثات (او مسألة البائع المتجول المترية) يوجد لها خوارزميات تقرب الاجابة المثلى لذا سوف ننظر اولا لم لا يمكن تقريب TSP بشكل عام ثم نقرب TSP مع خاصية متباينة المثلثات

صعوبة تقريب TSP


نظرية لكل دالة يمكن حسابها بوقت حدودي alpha(n) , مسألة البائع المتجول لا يمكن تقريبها بمعامل alpha(n) الا اذا NP P .



برهان لنفرض من اجل التناقض ان هناك خوارزمية حدودية تقرب TSP بمعامل alpha(n) سنسميه mathcal A سوف نُري انه يمكن استخدام mathcal A لكي نقرر مسألة المسار الدائري الهاملتوني ( حينها NP P ) .



الفكرة المركزية هي اختصار مسألة المسار الهاملتوني الدائري لمسألة البائع المتجول اي انه باعطائنا G نريد بناء مخطط كامل مع اوزان 'G بحيث أنَّ


1- اذا G يوجد فيه مسار دائري هاملتوني حينها في 'G وزن حل مسألة البائع المتجول الأمثل هو n .


2- اذا G لا يوجد فيه مسار دائري هاملتوني حينها في 'G وزن حل مسألة البائع المتجول الأمثل هو اكثر من alpha(n) n

لاحظ انه عندما نشعل الخوارزمية mathcal A على المخطط 'G على الخوارزمية ان تعطينا جوابا على الاكثر alpha(n) n في الحالة الاولى وفي الحالة الثانية جواب قيمته أكبر من alpha(n) n لذا يمكن تقرير مسألة المسار الدائري الهاملتوني .

والاختصار هو كالتالي لكل ضلع من اضلاع G ضع وزن 1 , وكل الأضلاع ليست اضلاع ل-G وزنها هو alpha(n) n وهذا سوف يكون 'G .

يمكن ان نرى انه اذا في G يوجد مسار دائري هاملتوني حينها وزن TSP في 'G هو n , اما اذا G لم يحوِ مسار دائري هاملتوني فعليه استخدام ضلع واحدة على الاقل وزنها alpha(n) n لذا فان وزن TSP يكون اكثر من alpha(n) n

تقريب مسألة البائع المتجول المترية


الخوارزمية




  1. جد الشجرة الممتدة ذات الحد الأدنى (MST) ولنسمها T .

  2. ضاعف كل ضلع في T واحصل على مخطط اويلراني

  3. جد مسار اويلراني mathcal T

  4. اخرج المسار الذي رؤوس G حسب ترتيب ظهورها في mathcal T . فلنسم المسائر الدائري الناتج C .



يمكن البرهنة بأن معامل هذه الخوارزمية هو 2 . يمكن تحسين هذه النتيجة ل-frac32 باستخدام مسألة التلائم في المخططات والخوارزمية الناتجة تكون جدا مشابهة للموصفة اعلاه.

GLPK solution of a travelling salesman probl .svg حلحلة لمعضلة البائع المتجول



مسألة البائع المتجول إنك Travelling salesman probl هي إحدى أهم المسائل في علم التعقيد الحسابي و نظرية المخططات ، ونص المسألة هو وصل تاجر إلى دولة فيها n مدينة ويريد البائع أن يزور كل مدينة في الدولة مرة واحدة فقط وبأقل وقت سفر بين المدن. بالرغم من بساطة عرض المسألة فقد تبين أن هذه المسألة هي أحد المسائل التي لا يُعرف لها خوارزمية تحلها بسرعة, أي أنه اذا كان هناك فقط 50 مدينة حينها يتطلب الأمر أكثر من ألف عام لايجاد الحل ! وقد وجدت هذه المسألة طريقها لنظرية التعقيد الحسابي حين أدرجها ريتشارد كارب كارب في قائمته ال-21 لمسائل NP كاملة.



تاريخ

تم الاشارة للمسألة للمرة الأولى في ألمانيا عام 1832 في كتاب البائع المتجول الناجح وكان كارل منجر هو أول رياضياتي كتب عن المسألة حيث أنه أراد l(C) حيث ان C هو مسطح بسيط في الفضاء المتري S وحسب التعريف هو
l(C) supsum_ i 1 ^ n-1 dist(x_i,x_ i+1 )
عندما القيم العُلية(supr um) نأخذها على كل اختيار x_1,x_2,...,x_ n-1 على C حسب < >الترتيب الذي يضعه C, وما بينه منجر لحل هذه المسألة هو أننا نستطيع أن نفحص كل المجموعات الجزئية النهائية X ل-C اي exists n in mathbb N Xsubset C, X n وعندها نأخذ القيمة الدنيا لكل الترتيبات X . لذا عرف لكل مجموعة جزئية X, لفضاء متري S lambda(X) وهو طول المسار الأقصر الذي يمر من خلال , وقد برهن التالي


l(c) sup_ X lambda(X)
كما حاول أن يبرهن أن forall epsilon > 0, exists Xsubset C lambda(X) ge l(C)
ونجح ببرهنة ميرهنة أقوى

l(c) sup_ X kappa(X)
عندما kappa(X) هو الحد الأدنى شجرة (بنية بيانات) للشجرة المتتدة في X .
نرى أأن lambda(X) قريب جدا من مسألة البائع المتجول, وقد ذكر منجر هذه الصلة في عام 1930 في أحد محاضراته وحسب الوثائق في البداية سأل منجر اذا ما نستطيع أن نستبدل kappa(X) بالحد الأدنى لشجرة ستاينير التي توصل X. وللمسألة الاقليدية تم ايجاد الحل في عام 1933 .
بين الأعوام 1930-1931 امضى منجر في هارفرد كمحاضر زائر وفي أحد محاضراته بيَّن نتاجه التي عرضناها واحد الاقتراحات كانت من هاسلر ويتني وبعدها بعام ذكر هاسلر مسألة العبور على ال48 ولاية .

وفي عام 1940 ظهرت مقالات تدرس مسألة البائع المتجول في سياق مُختلف , ميلجرام في عام 1940 درس مسألة المسار الاقصر خلال مجموعة من النقاط في الفضاء المتري وقد درس هذه المسألة على مسطح جوردان الأدنى والتي تُغطي اي مجموعة من النقاط في الفضاء المتري وليست بالضرورة مجموعة نهائية والتي حينها المسار الاقصر قد لا يكون موجودا . اما فيجيس في نفس العام درس المسألة في مربع الوحدة وقد توصل فيربولونسكي إلى ان طوله اقل من 2+sqrt 2.8 n
وقد اعطى ماهلانوبيس حدود دنيا للطول المتوقع ل-n نقاط عشوائية وقد اكمل هذا البحث جيسين عام 1942 .

وفي اخر الاربعينات وبداية الخمسينات ميلر فلود وقد كان في مؤسسة راند وهي مؤسسة بُحوث علمية حاول حلها بمساعدة علماء المؤسسة ولكن عبثا , وتم رصد جائزة لمن يساعد في حل المسألة(المسألة قد لا يوجد لها خوارزمية سريعة )

في عام 1954 اصدر فولكرسون وجونسون ودانتزيج مقال مهم في هذه المسألة وقد تطرقوا لخوارزميات لحل المسألة وقد اصبحت اساسية لاحقا في مسائل الاستمثال (combinatorial optimization )وقد استخدموا فيها المستويات القاطعة وبمساعدة البرمجة الخطية وطريقة السيمبلكس نجحوا في حل المسألة ل-49 ولاية . ولاحقا برهن كارب ان المسألة هي NP كاملة ومن حينها طور العلماء كثير من الطرق لحل المسألة بشكل مباشر مثل البرمجة الخطية المختلطة وخوارزميات جينية ...
 
التعليقات

لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

اعلانات
تصنيفات الموقع
شاهد الجديد لهذه المواقع
أخبار السعودية اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار قطر اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار الإمارات اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار الكويت اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار السياحة اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار البحرين اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار المغرب اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار الاردن اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار فلسطين اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار عمان اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار لبنان اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار السودان اليوم السبت 21/04/2018 - أخبار الكورة اليوم السبت 21/04/2018 - اعلانات الحراج اليوم السبت 21/04/2018 - اسعار السيارات بالكويت السبت 21/04/2018 - اسعار العقارات بالكويت السبت 21/04/2018