موقع الو ساعد - الشيخ ابو مهند - نجارعبدالقيوم - أبــوعـصــمــت - هاشم خيرات طبيب شعبي يكوي - دسعد الشهري - سلامات - Vip - شاي ساره العجمي للتنحيف - أشرف نهضة أبوظبي - مكتب الزومان معتز - دكتور حسن قطب - فطاير جبد - منصور المواش - بقاله توصيل بكبد - المحامي/ وائل الغانمي - فنجال الشيباني ابو سلطان - مها الرشيدي 7 - مكتب بوقذيلة للعقارات - د.فراس العجمي - دكتور أعشاب اردني - م علي ابراهيم مغلس - مهندس حسن - حسام العرضيه مطعم برجر - محمد السنان بيت التمويل التركي - سعاده المستشار مبارك سعيد مبارك عباد - سعيود - Soud Alhajry - كريمهـ الطباخه - صالون بتر فلاي - بوبيان ادم خياط عسكري - فيصل القحطاني امنيه58 - كراج المساعيد - د.رشاد قشقري.ابن سينا - Msa3ed - محامي احمد المرباطي - دكتور اسماعيل الحراكي - محامي شيكات /اسماعيل الصيدلاني - الشيخ احمد الورقان - د. كايد احمد كايد - Khalti Maisa - د حاتم مطر نساء ولادة - كبب بيتنا اللذيذه ب11 ونص - فطيرتي سوق الجليب - حسام ابو حادي - مستوصف نبع الحنان سكاكا - وتساب البنك الوطني - المحامي/ حسان دحلان - دكتور باسل جنيد - يوسف الشويحاني مشرف تد حائل -
الجديد مستودعات ثلاجات مبردة مجمدة للتقبيل - شركة القُصير السعودية لتأجير وبيع الخيـام الأوروبية ومولدات الكهرباء - الصلاة الصلاة - كيف ازرع النعناع في المنزل ؟ - فوائد التمر والحليب - كيف توفر العديد من المال على نفسك ؟ - كيف تبداء بمشروع صغير وناجح ؟ - كيف تصبح غنياً ؟ -
آخر المشاهدات زمن البروثرومبين قياس المختبر - قبيلة الصلبه نسب القبيلة - [بحث جاهز للطباعة] أجدد بحث عن كيفية كتابة تقرير ميداني - - متلازمة وولف -باركنسون -وايت الإسم - إسماعيل بن جعفر حياته - اسباب وجود كيس دهني على الرحم وطرق العلاج - ملفات دراسات جدوى لعمل مشاريع صغيرة للشباب - النموذج الخطي المعمم نبذة بديهية - أداماري لوبيز حياتها المهنية - هاتف ومعلومات عن شركة طيران الشرق الأوسط / الخطوط اللبنانية بالرياض - رحم أحادي القرن المسببات - المنزل الكئيب - أريد نقل ابنتي من مدرسه الى أخرى - تاريخ الكيمياء العضوية البدايات والعصر القديم - غومة المحمودي نسبه - ناحية مشتى الحلو بلدات وقرى ناحية مشتى الحلو - فوسفات ثنائي الكالسيوم الخواص - كزاز الفك تعريفه كلاسيكياً - غشاء شبه منفذ أمثلة - إدارة التعيينات بالقوات المسلحة (مصر) مديري الإدارة - هاتف وعنوان مستوصف البركة - محايل, عسير - برنامج غذاء كامل للاطفال في الشهر الثامن لكبار اطباء الاطفال - قتيلة بنت نوفل قصتها مع عبد الله بن عبد المطلب - علم النفس التجريبي تعريف علم النفس التجريبي - المعالجة بالسعادة (فيلم) القصة - خصائص معلمة رياض الأطفال - بطارية زنك-كربون مقدمة - أحياء الخرطوم بحري أهم الأحياء - هاتف وعنوان مستوصف الشمائل الطبي النسائي - السويدي, مدينة الرياض - مزايا أن تكون خجولا (رواية) الأدب - تلال كالفيلة البيضاء (قصة قصيرة) ملخص القصة - هاتف وعنوان مستشفى الراشد - حائل - هاتف وعنوان مندي الجزيرة - الخبر - فرقاطة ديسكوبيرتا كلاس السفن - أسباب عدم استجابة الجسم للأدوية - هاتف و معلومات عن مستوصف د.كايد احمد الكايد بالمدينة المنورة - طريقة عمل ساندويش الزنجر من مطعم كنتاكي لا تفوتك - الجريف غرب (الخرطوم) الموقع - ابن المؤقت المراكشي حياته - مواد سنية في الفحص والتشخيص - طريقة تحضير اقراص الكبه (كبة الاحساء ) كبة الهريس روعه بالصور - طريقة اعداد متبل الافوكادو بالذ طعم خطوة بخطوة - سكوثيون لمحة تاريخية - هاتف وعنوان مطابخ المنجف - النزهه, جدة - جيمس غراهام بالارد أعماله - وصفة لعلاج التهاب المثانة ومشاكل المجاري البولية بالاعشاب الطبيعية - هاتف وعنوان مستوصف التداوي الطبي - البكيريه, القصيم - جذر نبات أهم وظائف الجذر - فخار العصر الحجري الحديث فخار العصر الحجري الحديث - كيس دهني العلامات والأعراض - مخاطر صاعق الحشرات الكهربائي - الرجوع إلى الطفولة المغزى من الرواية - بين القصرين (رواية) اقتباسات من الرواية - هيدروكسي بروبيل ميثيل سيللوز التسمية العامة - هاتف وعنوان مستشفى العبيد - المبرز, الاحساء - [بحث جاهز للطباعة] خاتمة بحث ديني علمي عربي قصيره - - لوكهيد إل-1011 تراي ستار - بدر مولى عبد الرحمن الداخل نبذة وتعريف - كيف تبداء بمشروع صغير وناجح ؟ - طريقة عمل طبخة القدره الخليليه من مطبخ منال العالم - هاتف وعنوان مطعم منارة - الخرج, محافظات الرياض - وصفة سحرية لعلاج القراع والثعلبة بالحبة السوداء من عيادة الطب البديل - ماري تشوي (مسلسل) القصة - ليونارد بلومفيلد نشأته ودراسته - شين ويست نشأته - هاتف وعنوان مستوصف الملحم - الجامعه, الاحساء - جامعة ماليزيا بهنغ تاريح الجامعة - هاتف ومعلومات عن مستشقى الملك سعود للامراض الصدرية بالرياض - طريقة تحضير حـلى أصـابـــع الزمــــــن خطوة بخطوة - سنجاب مساكن السناجب - لحظة ظلام (فيلم) - عنوان و هواتف القنصلية السعودية فى لوس أنجلوس ومعلومات شاملة عنها - هاتف وعنوان مطعم سعيد حمدان - الباحة - هاتف وعنوان مستشفى غسان نجيب فرعون - السلامه, جدة - أسباب برودة القدمين - طريقة عمل الشراغيف (اكله شعبيه - ثنائي ميثيل أمين التحضير - هاتف وعنوان مستوصف آل مترك - المزاحميه, محافظات الرياض - هارون الرشيد حياته قبل الخلافة - هاتف و عنوان مستشفى الملك فيصل و معلومات عنها بالطـــائـف بالسعودية - طرق علاج السعال الديكي عند الاطفال - قائمة أمثال حجازية أمثال الحب والكراهيه - مخلفات الزوابع الأخيرة ملخص الرواية - طريقة عمل البليله الهنديه بطعم لذيذ - - هاتف وعنوان شركة مفاز للتنمية العالمية - العليا, مدينة الرياض - سحر جوليا (مسلسل) ملخص القصة - كنانة نسب قبيلة كنانة - It is over real that a cozy pair of Ugg boots can - رياض نحاس أعماله - طريقة اعداد مكرونة القواقع المحشيه بالذ طعم خطوة بخطوة - أول مرة تحب يا قلبي (فيلم) قصة الفيلم - هواتف مكتب مركز المدينة للإستشارات الهندسية ومعلومات عنه بالسعودية - آبومورفين الفعالية البيولوجية - معادلة تفاضلية عادية معادلات من الرتبة الأولى - الغرفة الفتية العالمية مبادئ الغرفة واهدافها - أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر - قلوب حائرة - ماريا كلارا (مسلسل) القصة - قرية الصالحية في منطقة القصيم - عمارة ما قبل التاريخ المانهير Menhirs - تاويالة أصل التسمية - المكلا المناطق والشوارع - كيس درقي لساني الإحصائيات - يوميات ونيس (مسلسل) الممثلون - طريقة عمل السابليه للشيف حسن - عبد المنعم بن الصديق - فرضيات كوخ الفرضيات - [مواضيع صحية] مستوصفات جدة لفحص العمالة , مستوصف فحص العمالة الوافدة بجدة - طب بديل وطب عام - [بحث جاهز للطباعة] مخاطر الاستعمال المفرط للاسمدة ، واكثار السلالات المرغوبة . - - فيصل بن فرحان باشا الجربا - مزايا وعيوب شركات التوصية البسيطة وهل تصلح للمشروعات الصغيرة - حلقات الديك نصائح للاستعمال - هاتف وعنوان مستشفى الدكتور غسان نجيب فرعون - خميس مشيط, عسير - ملف شامل عن الصوم الطبي.. فوائده العلاجية عديدة ومتنوعة - أولاد حريز أصل وتاريخ القبيلة - داء الثنيات الأسباب - تصنيف المواد السيراميكية والزجاج تصنيف المواد السيراميكية والزجاج - تعمية انواع خوارزميات التشفير حسب طريقة ادخال البيانات - محرك الممانعة مبدأ عمله - طريقة عمل شوربة الشعير من مطبخ الشيف منال العالم - بانتوبرازول الاستخدامات الطبية - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج منتجات الألبان - قائمة حلقات القناص (1999) قائمة الحلقات - إتش تي تي بي 404 - أدهم نابلسي حياته الشخصية - تاريخ الريف (شمال المغرب) حضارات فترة ما قبل التاريخ - نصر بن عاصم الليثي الكناني أقوال في نصر بن عاصم - ديازيبام الاستخدامات الطبية - يا حلوة مع السلامة (أغنية) Bella Ciao - تصوير بالرنين المغناطيسي تاريخ الرنين المغناطيسي - شروط نقل ملكية المؤسسات بالتنازل أو البيع بالسعودية - الثعلب (فيلم) - جسيمات فضة نانوية التخليق التحضير - مذبحة ثانوية كولومباين - أريبيبرازول التخزين - همام بن مرة سيرته الذاتية - [بحث جاهز للطباعة] مشاريع تخرج افكار مشاريع تصميم مواقع برمجة مواقع هنا حصرياً - - وصفات لعلاج السعال الديكي - هواتف وأرقام كفتيريا القريات الذهبية بجدة و العنوان - محكمة الكنغر أصل التسمية - أفني يالتشين - مارتن ميستري القصة - مسكيانة لمحة تاريخية لمدينة مسكيانة - هاتف وعنوان مستوصف الأقصى- الرونه, عسير - طريقة عمل كبسة الربيان الناشف بطريقتي المطوره - مراد داناجي المسلسلات التي شارك فيها - نور خراط عن حياته - الرباب نسب قبائل الرباب - رقصة مع التنانين مُلخّص الأحداث - متحكم تناسبي تكاملي تفاضلي فكرة عامة - طريقة تحضير الميرمية(أعشاب) بطريقة سهلة - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع تصنيع الجلاش الآلي - مته هوروزأوغلي عن حياته - البحيرة الزرقاء (فيلم 1980) سيناريو - كيف ازرع النعناع في المنزل ؟ - هنري السابع ملك إنجلترا انتهاء الحرب وزواجه - طريقة تحضير أسهل طريقة لصنع المرطبات اللذيذة - الرضاعة الطبيعية وفوائدها للرحم - المئة قصة المسلسل - [بحث] اسماء الله الحسنى - ملخصات وتقارير جاهزة للطباعة - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع ثلاجات التخزين - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الكحة بالاعشاب - هواتف مستشفى النقاهة والصحة النفسية و معلومات عنها فى منطقة بيشة بالسعودية - نموذج رذرفورد للذرة فروض نموذج رذرفورد - هاتف وعنوان شركة إبراهيم محمد المانع للأدوات الصحية - ابها, مدينة ابها - معركة حمض - علي ولد زايد من أقواله المشهورة في اليمن - خطاب نوايا أمثلة محددة - جواز السفر السوري أنواع جوازات السفر العربية السورية - النقبي اصول القبيلة وسبب التسمية - صلب كربوني أنواعه - بانشي (مسلسل) القصة - كيمياء كهربائية تطبيقات الكيمياء الكهربائية - النفس البشرية (تكوينها واضطراباتها وعلاجها) مواضيع الكتاب - قائمة رؤساء السودان تاريخ المنصب - طريقة تحضير عجينة الكلاج من الشيف منال العالم - هيدروكسيد الحديد الثنائي الخواص - فرط ثنائي أكسيد الكربون في الدم الأسباب - مستقبل الأستيل كولين التصنيف - طه محمد بن سليمان - تاريخ البوليمر وأساس تصنيفه وصفاته مقدمة في علم البوليمراتكيمياء البوليمرات Ch istry of Polymers » جامعة أم القرى - فوائد نبات المقل من عيادة العلاج بالاعشاب والطب البديل - مصاعد أوتيس مصعد جي إي ان 2 - رتب النيابة العامة - داني دانييلس - قناة الشرقية الشرقية نيوز - رحيمو (فيلم) - هل يجب اجراء عملية لقطع الرباط الصليبي؟ ومتى؟ - ماذا قال الرسول عن التين والزيتون ؟ - دعارة حسب البلد الدعارة في أوروبا - رمز الخطر رموز الخطر - أموس برنسون ألكوت - هاتف وعنوان مستوصف النصر الطبي - الطائف المركزي, الطائف - إدارة المدفعية بالقوات المسلحة (مصر) المدفعية الاٍستراتيجية - طريقة عمل ومقادير المشاط الفلسطيني او عجة البيض والزهرة من مطبخ منال العالم - آفس تل آفس الأثري - إعراب محلي مواضع الإعراب المحلي - باروكسيتين دواعي الاستخدام - الاختبار الدولي لإتقان الإنجليزية نماذج صيغة الامتحان - دراسة جدوى مفصلة لمشروع إنتاج حمض الستريك من المولاس -
اليوم: الاحد 24 فبراير 2019 , الساعة: 4:59 ص / اسعار صرف العملات ليوم الاحد 24/02/2019


اعلانات
محرك البحث


زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح

نشر قبل 2 سنة و 5 شهر 151 مشاهدة


اعلانات
شاركنا رأيك بالموضوع

تعريف وتوضيح



المثال الأول الأعداد الصحيحة



من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة عدد صحيح الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية



..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- ,  ... Harvard citations last لانغ year 2005 loc الملحق 2، ص 360 nb yes إلى جانب عملية الجمع .



الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات التجريدية للزمر.



  1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هذه الخاصية باسم انغلاق (رياضيات) الانغلاق بالنسبة للجمع.

  2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم عملية تجميعية التجميعية .

  3. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 0 + a a. ال 0 (عدد) صفر يسمى عنصر محايد (رياضيات) عنصرا محايدا .

  4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b b + a 0. العدد الصحيح b يسمى عنصر معاكس العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-.



وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.


تعريف


quote box



33

quote بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف زمرة الوحش بزمرة الوحش البسيطة ، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأشياء.

source Harvard citations txt yes authorlink ريتشارد بروشردس first ريتشارد last بورشردس year loc مذكور في كتاب < >Group theory جيمس ميلن (رياضياتي) لجيمس ميلن ، http //www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html



الزمرة هي مجموعة G! مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز ullet وتسمى قانون الزمرة لـ G! أو عملية الزمرة، تربط كل عنصر (رياضيات) عنصرين اثنين a و b من عناصرها بعنصر ثالث c ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها c a ullet b أو c ab، وفي زمرة أبيلية الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب c a + b، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل c a circ b أو c a * b. وكل من المجموعة والعملية (G, ullet) يحققان بديهية البديهيات التالية Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.1، ص 27 nb yes Harvard citations last رامون year loc ص 5 nb yes

انغلاق (رياضيات) الانغلاق



لكل عنصرين a و b من عناصر G! يكون ناتج العملية a ullet b منتميًا أيضًا إلى G!. cref 3



التجميعية



لكل ثلاثة عناصر a و b و c من G! يكون (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)، أي أن ناتج تركيب العناصر الثلاثة لا يتأثر بتغير موضع الأقواس، cref 4 مما يسمح بكتابة الناتج في صورة a ullet b ullet c بدون أقواس.



وجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد



يوجد عنصر e in G! يحقق المعادلة e ullet a a ullet e a لكل a in g، ويسمى هذا العنصر العنصر المحايد. وهو عنصر وحيد؛ فلا يوجد أكثر من عنصر محايد واحد في الزمرة. cref 5



وجود عنصر معاكس العنصر المعاكس



لكل عنصر a من عناصر G! يوجد عنصر b من G! بحيث a ullet b b ullet a e حيث e هو العنصر المحايد، أي أن تركيب هذين العنصرين بأي ترتيب يساوي العنصر المحايد e. يُسمي العنصر b العنصر المعاكس للعنصر a ورمزه a^ -1 . ومن الواضح أن العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر a محدد بوضوح.



هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر a مع العنصر b ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر b مع العنصر a، فهذه المعادلة

a ullet b b ullet a


قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن a + b b + a لأي عددين صحيحين ( عملية تبديلية إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة a ullet b b ullet a زمرة أبيلية الزمر الأبيلية (تخليدًا ل نيلس هنريك أبيل نيلس أبيل ). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.

كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد 1 أو 1_G!، MathWorld Identity El ent urlname IdentityEl ent وهذا الرمز مأخوذ من 1 (عدد) المحايد الضربي . كما قد يُكتب العنصر المحايد 0 خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ+، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية . وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا id.



المثال الثاني زمرة التماثل



تطابق (هندسة) يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من دوران (هندسة) الدورانات و انعكاس (رياضيات) الانعكاسات و انزلاق (هندسة) الانزلاقات . يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية تناظر التماثلات . للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور


1 text- 0 auto.5 auto


-

group D8 id.svg 140
id(بترك كل عنصر على حاله) group D8 90.svg 140
r1 (بالدوران 90° يمينًا) group D8 180.svg 140
r2 (بالدوران 180° يمينًا) group D8 270.svg 140
r3 (بالدوران 270° يمينًا)
-

group D8 fv.svg 140
fv (بالانعكاس عموديًّا) group D8 fh.svg 140
fh (بالانعكاس أفقيًّا) group D8 f13.svg 140
fd (بالانعكاس القطري) group D8 f24.svg 140
fc (بالانعكاس القطري المعاكس)
-

text- right 4 عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.




  • دالة محايدة العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.

  • دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و 180° يمينًا و 270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r1 و r2 و r3 على الترتيب.

  • الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين fh و fv، والانعكاس عبر القطرين يعطي fd و fc.



تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r1 ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل fh فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى زمرة زوجية الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D4، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال . Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.6، ص 54 nb yes يمكن تركيب اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي

b ullet a (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (fh) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (fd). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن

f_h ullet r_3 f_d

1 float text- .5 0 .5 1 40ex height 40ex


+ جدول كايلي جدول زمرة D4
-

! 12 FDD -top black 2 -right black 2 •

! FDD -top black 2 11 id

! FDD -top black 2 11 r1
! FDD -top black 2 11 r2
! FDD - black 2 -top black 2 11 r3
! 11 fv !! 11 fh !! 11 fd !! 11 fc
-

! FDD -right black 2 id

FDD id

FDD r1
FDD r2
FDD - black 2 r3 fv fh fd
FFFC93 - black 2 -right black 2 -top black 2 fc
-

! FDD -right black 2 r1
FDD r1
FDD r2
FDD r3
FDD - black 2 id fc fd fv
FFFC93 - black 2 -right black 2 fh
- height 10

! FDD -right black 2 r2
FDD r2
FDD r3
FDD id

FDD - black 2 r1 fh fv fc
FFFC93 - black 2 -right black 2 fd
- height 10

! FDD -bottom black 2 -right black 2 r3
FDD -bottom black 2 r3
FDD -bottom black 2 id

FDD -bottom black 2 r1
FDD - black 2 -bottom black 2 r2 fd fc
fh
FFFC93 - black 2 -right black 2 -bottom black 2 fv
- height 10

! fv
fv fd fh fc id r2 r1 r3
- height 10

! fh
fh fc fv DDF black 2 fd r2 id r3 r1
- height 10

! fd
fd fh fc fv r3 r1 id r2
- height 10

! fc
9DFF93 -right black 2 -bottom black 2 -top black 2 fc
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fv
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fd
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 - black 2 fh r1 r3 r2 id
-

9 text- right تشكل العناصر id و r1 و r2 و r3 زمرة جزئية ، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليمين. مجموعة مشاركة المجموعتان المشاركتان اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددتان باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (في العمود الأخير) بالترتيب.


يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D4 المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث a, b, c in D!_4 كالتالي

  1. تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون b ullet a in D!_4 أي أن يكون تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار

    r_3 ullet f_h f_c


    أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.

  2. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c على الترتيب لتكوين تماثل لمربع الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون

    (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


    وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات. فمثلًا (f_d ullet f_v) ullet r_2 f_d ullet (f_v ullet r_2)، ويمكن التأكد من هذا باستخدام الجدول في اليسار، فيلاحَظ أن

    (f_d ullet f_v) ullet r_2 r_3 ullet r_2 r_1، وهذا يساوي

    f_d ullet (f_v ullet r_2) f_d ullet f_h r_1.


    ومع أن شرط التجميعية صحيح في حالتي تركيب تماثلات المربع وجمع الأعداد، فهو ليس صحيحًا لكل العمليات؛ فطرح الأعداد مثلُا ليس عملية تجميعية، فمثلًا (7 − 3) − 2 2، وهذا لا يساوي 7 − (3 − 2) 6.

  3. العنصر المحايد في الزمرة المعطاة أعلاه هو التماثل id لتركه نقاط الشكل دون تغيير تأدية id بعد a (أو a بعد id) يساوي التماثل a، وبتعبير رمزي

    id ullet a a ullet id a.


  4. بالنسبة للزمرة المعطاة يقوم العنصر المعاكس بإبطال تحويلات بعض العناصر الأخرى. كل تماثل في الزمرة المعطاة يمكن إبطاله؛ فكل من التماثل المحايد id والانعكاسات fh و fv و fd و fc والدوران بزاوية 180° (r2)—كل منهم معكوس لذاته، لأن تأدية أحدهم مرتين يُعيد المربع إلى أصله قبل تأديته. بالإضافة إلى أن كلا الدورانين r3 و r1 معكوس للآخر، لأن الدوران 90° ثم إتباعه بدوران 270° (أو العكس بالعكس) يعطي دورانًا بزاوية 360°وينتهي بعدم حدوث تغير في المربع. وبالتعبير الرمزي

    f_h ullet f_h r_3 ullet r_1 r_1 ullet r_3 id.



وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D4، فمثلًا f_h ullet r_1 f_c لكن r_1 ullet f_h f_d. ولذلك فإن الزمرة D4 غير أبيلية.

التاريخ


مقال تفصيلي تاريخ نظرية الزمر


تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ Harvard citations nb yes last وسنغ year Harvard citations last كلينر year 1986 nb yes Harvard citations last سميث year 1906 nb yes فقد كان أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة متعددة الحدود المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال كل من باولو روفيني و جوزيف لاغرانج ، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذر دالة جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا ، مع تبديل (رياضيات) تباديل ما للجذور. رفض معاصرو غالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. Harvard citations last غالوا year 1908 nb yes Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 202 nb yes درس أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمرة تبديلات زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي زمرة منتهية الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه < >حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية خ¸n 1 (المنشور عام 1854 ). Harvard citations last كيلي year 1889 nb yes



كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمرة التماثل زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. Harvard citations last وسنغ year loc القسم الثالث.2 nb yes مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة هندسة زائدية كالهندسة الزائدية و هندسة إسقاطية الهندسة الإسقاطية ، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمرة لي زمر لي عام 1884. Harvard citations last لي year 1973 nb yes

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهو نظرية الأعداد . استعمل كارل فريدريش غاوس بُنى بعض زمرة أبيلية الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان < > استفسارات حسابية (عام 1798 )، كما استعملها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 204 nb yes في عام 1847 ، كان إرنشت كومر من بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة ، وذلك بتطوير زمرة الصنف المثالي زمر تصف تحليل عدد صحيح إلى عدد أولي أعداد أولية . Harvard citations last وسنغ year loc القسم الأول.3.4 nb yes



وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله < >Traité des substitutions et des équations algébriques الصادر عام 1870 . Harvard citations last جوردان year 1870 nb yes أعطى فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. Harvard citations last فون ديك year 1882 nb yes مع بداية قرن 20 القرن العشرين ، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس و ويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي ، وأوراق إيساي شور . Harvard citations last كورتيس year 2003 nb yes درس هيرمان فايل و إيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً و زمرة محلية التراص الزمر محلية التراص عامةً. Harvard citations last ماكي year 1976 nb yes صيغت نظرية زمرة جبرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر عقد 1930 ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل و جاك تيتس لاحقًا. Harvard citations last بورل year 2001 nb yes



نظمت جامعة شيكاغو في 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث علماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين و جون تومسون و فالتر فايت ، وبمساهمة العديد من الرياضياتيين الآخرين تصنيف الزمر المنتهية البسيطة صُنفت كل الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الهائل من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. Harvard citations last أشباخر year 2004 nb yes ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى. cref 1

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر


مقال تفصيلي نظرية الزمر الابتدائية


عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. Harvard citations last ليدرمان year 1953 loc القسم 1.2، ص 4–5 nb yes فمثلًا تُظهر التطبيقات استقراء رياضي المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة

a ullet b ullet c (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم I.1، ص 3

يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر و العنصر المعاكس الأيسر المعاكس الأيسر ؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي. Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 7

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة



إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع معرفة (نحو) تعريفهما بقول < >المحايد و< >المعاكس. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 17



لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر a، لنفترض أن للعنصر a عنصران معاكسان b و c في الزمرة (G!, ullet)، حيث




b b ullet e         حيث e هو العنصر المحايد
-

b ullet (a ullet c)         لأن c هو العنصر المعاكس للعنصر a، وبالتالي e a ullet c
-

(b ullet a) ullet c         لأن خاصية التجميعية تقضي بحرية ترتيب الأقواس
-

e ullet c         لأن b هو معاكس a، أي أن b ullet a e
-

c         حيث e هو العنصر المحايد


وبالتالي فإن كلا العنصرين b و c متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر a معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن G! زمرة بها عنصران محايدان e و f، حيث e e ullet f f، وبالتالي فإن e و f متساويان.

القسمة



من الممكن القيام بعملية قسمة القسمة في الزمر ليكن a و b عنصرين من الزمرة G!، إذن هناك حل وحيد x معادلة رياضية للمعادلة x ullet a b. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر a^ -1 من الجهة اليمنى يعطي الحل x x ullet a ullet a^ -1 b ullet a^ -1 . ويوجد بالمثل حل وحيد y في G! للمعادلة a ullet y b، وهو y a^ -1 ullet b. وليس من الضروري عامةً لكل من x و y أن يتفقا.

إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر g من زمرة ما هو دالة تقابلية . وعلى وجه التحديد، إذا كان g عنصرًا من الزمرة G! فإنه يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيسر بـ g، وهو يرسل h in G! إلى g ullet h. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيمن بـ g، وهو يرسل h إلى h ullet g. وإذا كانت G! أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.



المفاهيم الأساسية


تُستخدم قائمة الرموز الرياضية رموز رياضية في هذا القسم مثل X! x, y, z للرمز إلى مجموعة (رياضيات) مجموعة X تحتوي عنصر (رياضيات) العناصر x و y و z، أو يُستخدم بدلًا من ذلك x in X! لتوضيح أن x عنصر من X. ويشير الترميز fcolon X
ightarrow Y إلى أن f هي دالة (رياضيات) دالة تربط بكل عنصر من X! عنصرًا من Y.

معلومات أكثر لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر

لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. cref 6 يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في مجموعة (رياضيات) المجموعات )، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عملية (رياضيات) عمليتها . يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف ب زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة . إن مبدأ الحفاظ على البنى هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة (رياضيات) فئة ، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر .

تشاكلات الزمر


مفصلة تشاكل الزمر

تشاكلات الزمر cref 7 هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة acolon G!
ightarrow H! بين الزمرتين (G!, ullet) و (H, *) تشاكلًا إذا تحققت المعادلة 1 a(g ullet k) a(g) * a(k) لكل عنصرين g و k في G!. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أو بعد تطبيق (رياضيات) التطبيق a. وينتج عن هذا الشرط أن a(1_ G! ) 1_ H! ، وأن a(g)^ -1 a(g^ -1 ) لكل g في G!. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية G! كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.3، ص 34

تُوصف الزمرتان G! و H! بأنهما تساوي الشكل متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين acolon G!
ightarrow H! و bcolon H!
ightarrow G! تشاكلًا، أي أن تطبيق كلتا الدالتين تركيب الدوال الواحدة تلو الأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي دالة محايدة الدالتين المحايدتين في G! و H!. أي أن a(b(h)) h و b(a(g)) g لأي g في G! و h في H!.

من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًا يكون إثبات أن g ullet g 1_ G! لعنصر ما g من G! يُكافئ إثبات أن a(g) * a(g) 1_ H! ؛ لأن تطبيق الدالة a على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة b على الثانية يُعيدها إلى الأولى.

الزمر الجزئية


مفصلة زمرة جزئية

إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة H! موجودة في زمرة أكبر G!. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 19 ويكون العنصر المحايد للزمرة G! موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة H!، وعندما يكون h_1 و h_2 في H!، يكون h_1 ullet h_2 و h_1^ -1 أيضًا في H!، وبذلك تشكل عناصر H! مزودةً بعملية الزمرة G! المقصورة على H! زمرةً جزئية.

في مثال الزمرة D!_4 المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية R! id, r_1, r_2, r_3 ، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث أن أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هو الدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة 270° مع 90°، و 180° مع 180°، و 90° مع 270° (لاحظ أن الدوران في الاتجاه المعاكس غير معرف). إن اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية H! من الزمرة G! لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من أن g^ -1 h in H! لكل g, h in H!. كما أن معرفة شبكية الزمر الجزئية الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً. cref 8

بإعطاء أي مجموعة جزئية S! من زمرة G!، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها S! من نواتج إخضاع عناصر S! لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من G! تضم S!. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم II.12، ص 39 وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ r_2 و f_v من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر f_h f_v ullet r_2. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.

المجموعات المشاركة


مفصلة مجموعة مشاركة

من المستحسن في العديد من الحالات أن يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إن اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة D!_4 المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع r_2 بالقيام بعمليات الدوران، أي أن عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا تحدد المجموعة الجزئية H! مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـH! بأي عنصر من عناصرها g. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ H! التي تحتوي العنصر g كالتالي

gH! g ullet hcolon h in H! و H!g h ullet gcolon h in H! بالترتيب. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 41


تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية H! تجزئة مجموعة تجزئة لـ G!، بمعنى أن اتحاد (نظرية المجموعات) اتحاد كل المجموعات المشاركة اليسرى يساوي G!، وتكون كل مجموعتين يسريين إما متساويتين أو غير تقاطع (نظرية المجموعات) متقاطعتين . Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 12 تحدث الحالة الأولى g_1H! g_2H! إذا وفقط إذا كان g_1^ -1 ullet g_2 in H!، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من H!، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ H!. ومن الممكن أن تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن أن لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان gH! H!g لكل g in H!)، تسمى H! حينها زمرة جزئية طبيعية .

في الزمرة D!_4 المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى gR! للزمرة الجزئية R! المكونة من الدورانات إما أن تساوي R! إذا كان g عنصرًا من R! نفسها، أو أن تساوي U! f_cR! f_c, f_v, f_d, f_h (المظللة باللون الأخضر). كما أن R! زمرة جزئية طبيعية، لأن f_cR! U! R!f_c والأمر ينطبق على أي عنصر غير f_c.

زمرة خارج القسمة


مفصلة زمرة خارج القسمة

في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية زمرة جزئية طبيعية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية N!، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي

G! / N! gN!colon g in G! (G!,operatorname modulo ,N!) Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 45


تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية G!. (gN!)(hN!) (gh)N! لكل g و h في G!. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق G!
ightarrow G! / N! الذي يربط إلى كل عنصر g مجموعته المشاركة gN! يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخاصية الشاملة الخصائص الشاملة . والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة eN! N!، ومعاكس gN! في زمرة خارج القسمة هو (gN!)^ -1 (g^ -1 )N!. cref 9

1 float text- .5 0 .5 1


-

! 30 •

! 33 R

! 33 U

-

! < >R


< >R < >U


-

! < >U


< >U < >R


-

3 text- right جدول الزمرة لزمرة خارج القسمة D!_4 / R!.


عناصر زمرة خارج القسمة D!_4 / R! هي R! نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها U! f_vR!. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا U! ullet U! f_vR! ullet f_vR! (f_v ullet f_v)R! R!. إن كلًّا من الزمرة الجزئية R! id, r_1, r_2, r_3 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن D!_4 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة D!_4 من الزمرة الجزئية R! وخارج القسمة D!_4 / R! يجرَّد بمفهوم يسمى جداء شبه مباشر الجداء شبه المباشر .

تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تبديل (رياضيات) تباديلها أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مجموعة مولدة لزمرة مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية D! بعنصرين r و f (وعلى سبيل المثال r r_1 أي الدوران بزاوية قائمة، و f f_v أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات

r^4 f^2 (r ullet f)^2 1، Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 9


تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي ، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل زمرة متقطعة الزمر المتقطعة .


ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية H! من G! على أنها تطبيق دالة تباينية تبايني H!
ightarrow G!، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط صورة عكسية بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات دالة شمولية الشمولية ، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق G!
ightarrow G! / N!. cref 10 إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة (جبر) نواة و صورة (رياضيات) صورة تشاكلات الزمرة و مبرهنة تساوي الشكل الأولى .

أمثلة وتطبيقات


مقال تفصيلي أمثلة الزمر تطبيقات نظرية الزمر

صورة متعددة

رصف

اتجاه vertical

عرض 180

صورة1 Wallpaper group-cm-6

عرض1 150

تعليق1 ثمة نمط دوري في ورق الحائط ينبثق عنه زمرة ورق الحائط .

صورة2 Fundamental group.svg

عرض2 180

تعليق2 تتكون الزمرة الأساسية لمستوًى ما ناقص نقطة (غليظة) من الحلقات حول تلك النقطة. وتلك الزمرة الأساسية هي تساوي الشكل مساوية الشكل الأعداد الصحيحة للأعداد الصحيحة .



تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة mathbb Z! للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرةً ضربية . وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد .

تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية مدلل (رياضيات) بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله زمرة أساسية الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. Harvard citations nb yes last هاتشر year 2002 loc الفصل الأول، ص 30 وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من قائمة المواضيع المتعلقة بالطوبولوجيا الخصائص الطوبولوجية مثل جوار (رياضيات) القرب و دالة مستمرة الاستمرارية إلى خصائص للزمر. cref 11 فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن مثلية التوضع تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى عدد اللفات تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.

في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. cref 12 وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة زمرة زائدية الزمر الزائدية مثلًا. Harvard citations nb yes last1 كورنير last2 دلزان last3 بابادوبولوس year 1990 وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية و نظرية الأعداد .ومن أمثلة تلك الزمر زمرة الصنف المثالي زمرة الصنف و زمرة بيكارد زمر بيكارد . انظر Harvard citations nb yes last نويكيرش year 1999 ، وخاصة القسمين I.12 و I.13

يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفة الخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية ، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. Harvard citations nb yes last شيريش year 1997 ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء و كيمياء و علم الحاسوب تنتفع من أفكارها.

الأعداد


تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة حلقة (رياضيات) بالحلقات و حقل (رياضيات) الحقول . ويشكل المزيد من الفكر جبر مجرد الجبرية المجردة زمرًا، ومنها نموذج النماذج و فضاء متجهي الفضاءات المتجهية و جبر على حقل الجِبار .


الأعداد الصحيحة


لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة mathbb Z! تحت عملية الجمع ورمزها (mathbb Z! , +). ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع (mathbb Z! , cdot)؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا a 2 هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة a cdot b 1 في تلك الحالة هو b frac 1 2 ، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من mathbb Z! يملك معاكسًا ضربيًّا. cref 13

الأعداد الكسرية


إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة كسر (رياضيات) الكسور


frac a b .


وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث b
e 0) عدد كسري بالأعداد الكسرية . cref 14 ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز mathbb Q! . لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب (mathbb Q! , cdot) زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 (عدد) 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد x in mathbb Q! يحقق المعادلة x cdot 0 1)، وبالتالي لا تزال (mathbb Q! , cdot) ليست زمرة.

ورغم ذلك، تشكل مجموعة كل الأعداد الكسرية غير الصفرية mathbb Q! ackslash 0 q in mathbb Q! q
e 0 زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو (mathbb Q! , cdot). cref 15 تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد الصحيحة. كما أن بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري frac a b له معكوس هو frac b a ، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.

تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة mathbb Q! ، ولكلا البنيتين موقع محوري في الجبر المجرد . ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين. cref 16

الحساب النمطي


Clock group.svg تشكل الساعات في الساعة الميكانيكية زمرة تستخدم حساب نمطي مقياس جمع قيمته 12. وهنا يكون 9 + 4 1.

في الحساب النمطي ، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باق (رياضيات) باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية n، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى n - 1 زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر a هو n - a، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع ساعة (وحدة) الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 < >مقياس 12 أو < >بتردد 12، أو بالرموز



9 + 4 equiv 1 operatorname modulo ,12.


ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس n بأحد الرمزين mathbb Z! _n أو mathbb Z! /nZ!.

توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس n زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس color Blue p لأي عدد أولي p. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc الفصل السابع وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من 1 إلى p - 1. وعمليتها هي الضرب مقياس p، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على p، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذ ميز مجموعة (رياضيات)

Rubik's cube.svg الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.


مفهوم رياضي زمرة أو مجموعة Group غير معرف G(S, *), إيفاريست جالوا نظرية الزمر
في الرياضيات ، الزمرة إنك Group هي بنية جبرية حقيقة تصف وتُجسد مفهوم التناظر ، تتكون من مجموعة من عنصر (رياضيات) العناصر مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى بديهية البدبهيات وهي انغلاق (رياضيات) الانغلاق و عملية تجميعية التجميعية ووجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في جبر مجرد الجبر المجرد . يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2، ص 26 nb yes Harvard citations last هول year 1967 loc قسم 1.1، ص 1 nb yes The idea of a group is one which pervades the whole of math atics both pure and applied. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية جمع (رياضيات) الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب ، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة مصفوفة (رياضيات) المصفوفات التي لا تساوي محدد (مصفوفات) محدداتها الصفر و تماثل ذاتي التماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر .



ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر ، زمرة التماثل فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسة رياضية هندسيٍّ تتكون تلك الزمرة من مجموعة من تحويل (هندسة رياضية) التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمرة لي زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم تناظر جزيئي التناظر في الكيمياء الجزيئية ، وتعبر زمرة بوانكاريه زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة .


نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في عقد 1830 ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون كثير حدود معادلة جبرية كثيرة الحدود زمرة قابلة للحلحلة قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذر دالة جذور . بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد و الهندسة ، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870 . أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. cref 1 قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة و زمرة بسيطة الزمر البسيطة . لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف نظرية تمثيل الزمر بتمثيلات الزمر ، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات نظرية الحقل الكمومي كالحقل الكمومي و نظرية الأوتار الأوتار ، وفي معلوماتية (حقل أكاديمي) المعلوماتية توجد زمر التشفير للتشفير و ترميز الترميز و معالجة الصور الرقمية معالجة الصور ، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية زمرة منتهية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983 . cref 2 أصبحت نظرية الزمر الهندسية ، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف عقد 1980 ثمانينيات القرن العشرين .
كلمات مرتبطه: باشمرة الزمرة
 
التعليقات

لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

اعلانات
تصنيفات الموقع
شاهد الجديد لهذه المواقع

    Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/mdar/public_html/w/et2/1504449754footer.html.php on line 106

    Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/mdar/public_html/w/et2/1504449754footer.html.php on line 110
بئر السبع ميسوكسيمايد تل هشومير المرجة الزرقاء أسامة بن زيد الغاف دراسة جدوى خطة عمل روبرك الطاقة الداخلية مذكرات دورية نحو الشرق ايو جيما العياضي برباس العياضي شركة مكافحة حشرات خوارزمية ديكسترا مرفأ بيروت الكايد طاش ما طاش شركة كايد البسقلون كورونا سد حراض الفن البيزنطي عبد السلام بنعبد العالي رائد عودة مستشفى طيبة التخصصي غزوة خيبر شركة فواز لعامة للدراسات والمستندات كلوفيس الأول لمع قطع الغيار جميل خطاب ويلان نظم المعلومات المحاسبية محمود بن محمود البان باقادر مؤسسة بن شيهون الصحة الحقن المجهري الصين معلمات اتجاه البطولي أرضروم تنافسية شكاوي محمد الحاج سالم تكرلي مبرهنة عدم الاكتمال علاج عرق النسا سنهدريم التكامل العددي كهربا الحكومة الحكومة التونسية مسالك بولية معاهدة فاليتا مستشفي بدر مشاغل مراكز التجميل محمد حافظ الشريدة وديع سعادة مشغل جرافيزم شكا الربان حديقة التجارة نقليات الهباس بن دعجم بطباط حمود بوعلام حميدة معركة ثابسوس براتا البن الاخضر الزكاه ديدفورت تاريخ فواصل الكتب توسعة المسجد النبوي نادي الفتح telnet 1978 عصبام اللوزتين سبيكمان 213 الاقتصاد رمادي عادي فندق العليا تشويه سمعه اسماك الأسماك مؤسسة الجهاز القلبي الوعائي italia قراي
أخبار السعودية اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار قطر اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار الإمارات اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار الكويت اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار السياحة اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار البحرين اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار المغرب اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار الاردن اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار فلسطين اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار عمان اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار لبنان اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار السودان اليوم الاحد 24/02/2019 - أخبار الكورة اليوم الاحد 24/02/2019 - اعلانات الحراج اليوم الاحد 24/02/2019 - اسعار السيارات بالكويت الاحد 24/02/2019 - اسعار العقارات بالكويت الاحد 24/02/2019