أعلانات الحراج الحجامه الاسلاميه والشفاء ان شاء الله تعالي - مظلات وسواتر الاختيار الاول- الرياض-التخصصي-حي النخيل ت/ ج/ مظلات سيارات وسواتر بالرياض - نقل عفش الزهراء أبويوسف بجميع مناطق الكويت - تويوتا مارك 2 - 1994 - اوبل زافيرا 2001 - سنس غاليري جيزان امام ساكو - I want to sell my iphone 7 - حطين ق ظ£ - ش ظ£ظ¢ظ  - م ظ،ظ¥ - بيع ركشات بالتقسيط - ماكينة خلط الوان الدهانات (البويات) بالكمبيوتر (COROB) - افيكو ساحبة 2000 بحالة جيدة للبيع - افيكو ساحبة للبيع - توين فيلا ف معبيله جنوبيه ثامنه مرحلة ثانيه - توين فيلا الحاجر - عامï»»ت نظافه باليوميه وشغاï»»ت مقيمات - مطلوب دفتر للاقامه او ونيت او باص رخيص ف السعر - برامج بلس وبرامج مكرر والعاب مهكره بسعر حلو - منضومة حريق - للبيع بيت بعنيزه حي النزهي - فيلا المهاري للأفراح والمناسبات - صالات قصر الضيافه - كلاكسي ألفا s6 نضيف نظافة 88%باب اول - تيبر 18 متر 2005 اكترس - عندي سوار تركي ذهب مستعمل قليل للبيع - لوحة. زيتيه - quilts - شقة للأجار - بنغازي الكيش - شركه نظافكو للنظافه والصيانه ونقل العفش - شقة ارضية للبيع 100متر مربع دوبلكس للبيع - اكستنشن طبيعي - شقة للبيع اقامة ريحانة مراكش - 47887+88 - House shafting contact plz - مشروع منزلي صغير تحضير أشهى الأكلات العربيه عند الطلب للإستفسار دايركت - طابعة باركود صناعة كورية عرض خاص للمكاتب والشركات والسوبر ماركت - ستوديو مفروش في حي الخضراء تونس - تشليح الحاير لشراء السيارات المصدومة والعطلانة - Casio Keyboard - بازوكا العقرب 12 انش مع امبليفير وجدلة الأصلية - كلاب شيواوه 4شهور - تيوس للبيع - BMW530I - متوفر حاليا في صالة الأوائل الكريمية مكيفات TCL تي سي ال 18 بسعر 1950 دينار - للبيع بالمهبوله شقق مطابقة لشروط بنك التسليف بقطعه2 - شقة للبيع(الجنوب -بلدة باتوليه قرب مدرسة ليسه حناويه - اراضي للبيع في قدامي المحاربين - عسل سدر طبيعي واصلي وعلى الشرط للبيع - Salon wtawlet sofra wbrad - استراحة للبيع 2200م بتاجوراء -
موقع الو دكتور منير بن شتوح - صالون نور البدور - يحيا زكريا الوعب - فطاير جبد - حلويات دي لافازا كيك احرف - معهد القمه الفروانيه - حكيم حلاق . - مصبغه الماسه مجمع العاقول - بشاير الخير كلينكس - التسهيلات - الدكتور فيصل العمر - جدي د - كبب بيتنا اللذيذه ب11 ونص - سلامات - م.احسان قطرنجي - مركز البلسم الشافي - ناصر قبسون - بدر سعود العصمان السهلي - عدنان كنعان تموين سيارات - بوبيان ادم خياط عسكري - عيادة الدكتور ميثم الصددي - مزرعة الشايب ابو تركي - عيادة اسنان غلام - طارق القطبي - Eng Ahmd - فنجال الشيباني ابو سلطان - د.محمود سمحان - سطحات الفرج - علي خضير الجهني. المدينه المنوره خط المئه (خلف القريه الحجازيه - باحليوة مستودع محمد - محمد الجلاد - ريما الشمري جدة هوز هير - نوف الخالدي - شاورما كلاسيك - فندق مصباح الهدى النجف - Dr Amgad Shr Shr - مخبز تميس الفحيحيل - د ماهر فنصه - ماجد الزايدي _ معالج غرغرينا السعودية _ الطائف - شيخ صالح عقار - مال الطبيب - شيميل المهبوله ريم - الشيخ/ خالد البلطان رئيس الشباب - مطعم سلطان باشا - د مشهور السعيدي لواء متقاعد - عبدالرحمن الغملاس - ام نوره (ممرخه ) - علي احمد بنك التسليف - المراكبي - د غازي فلمبان -
الجديد شركة القُصير السعودية لتأجير وبيع الخيـام الأوروبية ومولدات الكهرباء - الصلاة الصلاة - كيف ازرع النعناع في المنزل ؟ - فوائد التمر والحليب - كيف توفر العديد من المال على نفسك ؟ - كيف تبداء بمشروع صغير وناجح ؟ - كيف تصبح غنياً ؟ - كيف توفر المال ؟ -
آخر المشاهدات بسام جرار النشأة - شرح العقائد النسفية (كتاب) محتوى الكتاب - قطب كهربائي القطب الموجب والسالب في الخلية الكهربائية - توزيع بولتزمان مقدمة - هاتف وعنوان مستشفى السلام - مكه الخريق, مكة المكرمة - هاتف وعنوان مستوصف بيشة الطبي - بيشه, عسير - سفيرة من الريف (رواية) - جهاز تحكم منطقي قابل للبرمجة بنية PLC - قائمة بطولات بوب بيزلي قائمة البطولات المحققة - كاسبر هاوزر التاريخ - دراسة مفصلة لمشروع انتاج وصناعة بخور العود - هاتف وعنوان شركة الدكتور محمد العمري وشركاه محاسبون قانونيون - العليا, مدينة الرياض - هاتف وعنوان مستشفى الجدعاني - الصفا, جدة - الكرة الحديدية قواعد اللعبة - الشروط المطلوب استيفاءها للحصول على رخصة تشغيل لشاحنة فردية بالسعودية - طريقة تحضير شكلمة جوز الهند من الشيف منال العالم - الشروط الواجب توفرها للحصول على تأشيرة العمرة من السفارة السعودية بالمغرب - لن أبكي أبدا (فيلم) تمثيل - طريقة عمل الخبز الشامي من وصفات منال العالم - اشرف سيد احمد الكاردينال مولده ونشاته - شيلي لوبن - طريقة عمل ومقادير البسكويت المالح بانواعه من مطبخ منال العالم - الرتب الشرطية في الإمارات - طريقة عمل البقدونسية بطعم لذيذ - فريديريك فروبل لمحة عن حياته - هاتف وعنوان مستوصف هجر - الجامعه, الاحساء - رشيد قارة بداياته - هاتف وعنوان مطعم روتانا - الرويس, جدة - [بحث جاهز للطباعة] قائمة بعناوين مشاريع التخرج لتخصص التربية الاسلامية - - طريقة عمل رز بفول شامي من حلقات برنامج منال العالم - سداسي أضلاع السداسي المنتظم - ما هى أعراض و تشخيص الزوائد اللحمية؟ - هاتف وعنوان مجمع عيادات د/ جميل خطاب - الهفوف, الاحساء - [بحث جاهز للطباعة] نموذج مقدمة بحث ادبي , نماذج بحوث ادبية - - [بحث جاهز للطباعة] أهم بحث شامل حول الرضاعة الطبيعية - - هند أبي اللمع حياتها - نبيه صالح قصة النبيه صالح - طريقة عمل وصفة الكراوية من منال العالم - جرار (عائلة) نبذة تاريخية - هاتف وعنوان مؤسسة خالد سعيد الهاجري للتجارة - الشعبه, مدينة الرياض - يربوع مصري كبير - طريقة تحضير خبز الحمام وخبز الهامبرغر من الشيف منال العالم - هاتف ومعلومات عن منتزه السلام الترفيهي (الرياض) بالرياض - الاستعلام عن كفالات الأشخاص بالكويت - الاحتلال الروماني للجزائر - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج نظم معلومات , مشروع تخرج شبكات - - هاتف وعنوان مستوصف الحجيلان - حفر الباطن, الجبيل - طريقة تحضير وصفة لحم ناشف (دندن) خطوة بخطوة - تاتسوهيسا سوزوكي أدواره في الأنمي - طلب تقدير احتياج عمالة بالكويت - تملح المياه في سلطنة عمان - فيلا (شركة ملابس رياضية) - تقلصات قوية أسفل البطن في الشهر الخامس من الحمل فما العلاج؟ - [بحث جاهز للطباعة] بحث حول علم الكيمياء , كل ما يخص الكيمياء - - طريقة عمل الملاتيت الفلسطينيه لا تفوتك - [بحث جاهز للطباعة] ماهو المطعم ، تعريف المطعم ، تاريخ المطعم ، نبذه عن المطاعم - - هاتف وعنوان مستشفى الأهلي السعودي - العزيزيه, مكة المكرمة - قبيلة السراحين نسب القبيلة - جعفر الفاسي - قصر البخاري تاريخ - هواتف وأرقام الدكتور فيصل الصافي والعنوان - جنود اليولداش - علاء الدين (حكاية) ملخص الحكاية - أرقام وهواتف عيادات د نعيمة عبدالله أبا الخيل بالرياض والعنوان - طريقة عمل الاستاكوزا بالباشميل - هاتف وعنوان مستشفى الرحمة - ابها, مدينة ابها - قبيلة الرحامنة أصل ونسب القبيلة - هاتف وعنوان مطعم الطاهي - الخرج, محافظات الرياض - هاتف وعنوان مطاعم غوزي - طريق خريص, مدينة الرياض - هاتف وعنوان البيرق للمندي والمثلوثة - لاسلكي, الدمام - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج امراض القدم والارجل بالاعشاب - طريقة تحضير خبز الشريك خطوة بخطوة - كلوريد متعدد الفاينيل المواد الأولية - طريقة عمل ومقادير أكلة الحبوب الشامية من مطبخ منال العالم - [بحث جاهز للطباعة] موضوع و مواضيع و بحث عن ترشيد استهلاك الماء و المياه - - هاتف وعنوان مستوصف الماسة الطبي - باب مكه, جدة - برج نهر بيرل الهندسة المعمارية والتصميم - هاتف وعنوان مطبخ ومطعم السعادة - الهفوف, الاحساء - هاتف وعنوان مستوصف المغلوث الطبي - المبرز, الاحساء - ناقلية حرارية جدول قيم الناقلية الحرارية لبعض المواد - طريقة عمل وصفة الكيك الاسفنجى على طريقة منال العالم - طريقة عمل كليجا القصيم بطعم لذيذ - وفورات الحجم تعريف - وسائط متعددة تصنيفات الوسائط المتعددة - طريقة عمل الرز بالباذنجان بطعم يجنن - وصفات وطبخات واكلات - عثمان خالد أبو جحجوح الروائي والأديب الفلسطيني / عثمان خالد أبو جحجوح (1951- ) - محزز الحيود - فتاة القيروان ملخص جرجي زيدان للرواية - طريقة تحضير كوكتيل السانجريا"Sangria" بطريقة سهلة - هواتف مستوصف الروضة الأهلي والعنوان - ستراوجر - هاتف وعنوان مستشفى الدكتور غسان نجيب فرعون - خميس مشيط, عسير - اسميتها فريحة (مسلسل) قصة المسلسل - هل مرض الربو مرض معدى؟ - كامبيوم وعائي المنشأ - [بحث جاهز للطباعة] بحث علمي عن علم الذكاء الصناعي - - قائمة أمثال حجازية أمثال الحب والكراهيه - [بحث جاهز للطباعة] مشاريع تخرج افكار مشاريع تصميم مواقع برمجة مواقع هنا حصرياً - - هواتف شركة أزميل للمقاولات ومعلومات عنها بالسعودية - فرط ثنائي أكسيد الكربون في الدم الأسباب - جميل عياد الوحيدي كتب عنه - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج جاهز كامل , مشاريع تخرج جاهزة كاملة - - سيسبلاتين التركيب الكيميائي - فرضيات كوخ الفرضيات - محمد الحبيب المولهي نشأته - المؤاخاة بين الصحابة نماذج - هواتف مكتب السبيعي مهندسون استشاريون ومعلومات عنه بالسعودية - مقياس غلاسكو للغيبوبة عناصر الجدول - طريقة عمل عصيرالليمون الحامض المطبوخ بطعم لذيذ لا تفوتكم - عبد السلام عباس المكاوي - جامعة بيروت العربية نظام الدراسة - مقبرة الشبيكة - طريقة عمل شوربة الشكمبا لا تفوتك - الطاهر المليجي - هاتف وعنوان مستوصف الإسكان - الشرفيه, جدة - تقرير جاهز للطباعة عن الألمنيوم - جوبيتر للطيران الأسطول - تشريح أسنان تسمية الأسنان - حمية كامبردج تحرق الدهون جسمك يخس وزنك من 4 الى 10كغم في الشهر - رجيم ورشاقة و تنحيف وانقاص الوزن - هاتف وعنوان مؤسسة المصباح التجارية - الرس, القصيم - هزاز توافقي (ميكانيكا الكم) أمثـــلة - هاتف وعنوان مطعم احمد سفر محمد - رأس تنوره, الدمام - تسوري بن تسوري - عنوان و هواتف القنصلية السعودية فى نيويورك ومعلومات شاملة عنها - عبد الحافظ معجب عن حياته - هاتف وعنوان كافكو للمطابخ - الهفوف, الاحساء - هاتف وعنوان مستوصف الفيحاء - النسيم, مدينة الرياض - علي ولد زايد من أقواله المشهورة في اليمن - هاتف وعنوان مستشفى الوفاء - عنيزه, القصيم - شعاع الدعم الآلي متجهات آلات دعم التمييز - أعرف لماذا يغرد الطائر الحبيس نبذة عن حياة مايا أنجيلو - هاتف وعنوان مستوصف شمسان الخاص - ابها, مدينة ابها - طريقة عمل ومقادير المشاط الفلسطيني او عجة البيض والزهرة من مطبخ منال العالم - طريقة تحضير المصابيب القصيمي بطريقة سهلة - طريقة عمل برودو (broudou) بالخضرة شوربة تونسية بالصور - هاتف وعنوان مستشفى الأمير فهد بن سلطان - تبوك - رمال رمال حياته - إدارة السجلات العسكرية (مصر) مديري الإدارة - قياس الكالبروتكتين في البراز البنية والوظيفة - معلومات هامة عن سلالة دجاج الفيومى - دراسة جدوى مفصلة لمشروع صناعة الطوب الأسمنتي من المخلفات - طريقة عمل اكلة كرات البطاطس بالجبن من مطبخ منال العالم - علامات التصبغات المنغولية عند الاطفال حديثي الولادة - هاتف مركز حي الضباط الصحي بمنطقة نجران و معلومات عنه بالسعودية - هاتف و معلومات عن مستشفي السعودي الألماني بالمدينة المنورة - رزان مغربي حياتها الخاصة - طريقة استخراج تأشيرة زيارة للسعودية - كيف تحصل علي المتعة في الحياة الجنسية - ماذا قال الرسول عن التين والزيتون ؟ - محاولة عيش كاتب الرواية - [طب بديل ] خلطة مره بسيطة للتخسيس ^_^ واااو - مواضيع صحية - عبد الرحمن الهاشمي - هاتف وعنوان مشغل ليالينا - الصحيفه, جدة - هاتف وعنوان محل العطوي لبيع الغاز - تبوك - هاتف وعنوان مطبخ العشي- السلامه, جدة - صيد الريم (أغنية) كلمات الاغنية - منوب مبدأ العمل - بطولة العالم لألعاب القوى بطولات - مالتيتول الانتاج والاستخدام - ماهر صديق البيئة قصة المسلسل - وصلة شوتكي تاريخها - طريقة اعداد الكليجة الشامية بالذ طعم خطوة بخطوة - تشكيل تضاريس سطح الأرض عوامل نشأة التضاريس - الكعك المعاني - سمير وليم باسيلي حياته - محمد صالح الدولاني الجهني - هل يؤجر المبتلى بالوسواس ؟وماذا يجب أن يفعل؟ - معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة - الشروط المطلوب استيفائها للحصول على ترخيص نقل البضائع والمهمات بأجر بالسعودية - طريقة عمل سلطة الزيتون من مطبخ منال العالم - هاتف وعنوان مستوصف زمزم - حائل - طريقة تحضير ستروغونوف باللحمة من الشيف منال العالم - جامعة أم درمان الإسلامية كلية الطب - لبان (نبات) أنواع نبات اللبان - هاتف وعنوان مستوصف السلامة الطبي - خميس مشيط, عسير - نظرية التوقع المؤلف - ترميز شانون-فانو خوارزمية شانون-فانو - هاتف وعنوان مستشفى الملك فهد الجامعي - الخبر شمال, مدينة الخبر - هاتف وعنوان مركز الكحال التخصصي لطب العيون - لاسلكي, الدمام - فينيتوين طرق الاستعمال - شروط نقل ملكية المؤسسات بالتنازل أو البيع بالسعودية - هاتف وعنوان مشغل عيرف النسائي - حائل - هاتف وعنوان مستوصف مركز الرياض الطبي - شارع العروبة, مدينة الرياض - آيرش كريم - [بحث] الإعجاز العلمي في القرآن((عالم الجن)) - ملخصات وتقارير جاهزة للطباعة - جاسم يعقوب حياته العائلية - محمد الرشيد (ممثل) أعماله - روبرت هوك حياته وأعماله - المشحمية مكوناتها - الدوسنتاريا الأميبية - الزحار الأميبي مرض معدي يصيب القولون - طريقة تحضير كيك بدون بيض وصفة عجيبة بطريقة سهلة - كلوريد الذهب الثلاثي الخواص - رحلة ابن فطومة ملخص القصة - مطار الدار البيضاء تيط مليل - هاتف وعنوان مستوصف الرحمانية - العليا, مدينة الرياض - وادي الصومام أصل الكلمة - تركيز رأسمالي تعريف - برنامج غذاء كامل للاطفال في الشهر الثامن لكبار اطباء الاطفال - متلازمة فايفر الأسباب - هاتف وعنوان مستشفى المغربي للعيون والأذن والأسنان - النزله, جدة -
اليوم: الاربعاء 19 ديسمبر 2018 , الساعة: 5:43 م / اسعار صرف العملات ليوم الاربعاء 19/12/2018


اعلانات
محرك البحث


زمرة (رياضيات) تعريف وتوضيح

نشر قبل 2 سنة و 3 شهر 121 مشاهدة


اعلانات
شاركنا رأيك بالموضوع

تعريف وتوضيح



المثال الأول الأعداد الصحيحة



من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة عدد صحيح الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية



..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- ,  ... Harvard citations last لانغ year 2005 loc الملحق 2، ص 360 nb yes إلى جانب عملية الجمع .



الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات التجريدية للزمر.



  1. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هذه الخاصية باسم انغلاق (رياضيات) الانغلاق بالنسبة للجمع.

  2. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هاته الخاصية باسم عملية تجميعية التجميعية .

  3. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 0 + a a. ال 0 (عدد) صفر يسمى عنصر محايد (رياضيات) عنصرا محايدا .

  4. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b b + a 0. العدد الصحيح b يسمى عنصر معاكس العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-.



وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.


تعريف


quote box



33

quote بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف زمرة الوحش بزمرة الوحش البسيطة ، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأشياء.

source Harvard citations txt yes authorlink ريتشارد بروشردس first ريتشارد last بورشردس year loc مذكور في كتاب < >Group theory جيمس ميلن (رياضياتي) لجيمس ميلن ، http //www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html



الزمرة هي مجموعة G! مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز ullet وتسمى قانون الزمرة لـ G! أو عملية الزمرة، تربط كل عنصر (رياضيات) عنصرين اثنين a و b من عناصرها بعنصر ثالث c ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها c a ullet b أو c ab، وفي زمرة أبيلية الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب c a + b، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل c a circ b أو c a * b. وكل من المجموعة والعملية (G, ullet) يحققان بديهية البديهيات التالية Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.1، ص 27 nb yes Harvard citations last رامون year loc ص 5 nb yes

انغلاق (رياضيات) الانغلاق



لكل عنصرين a و b من عناصر G! يكون ناتج العملية a ullet b منتميًا أيضًا إلى G!. cref 3



التجميعية



لكل ثلاثة عناصر a و b و c من G! يكون (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)، أي أن ناتج تركيب العناصر الثلاثة لا يتأثر بتغير موضع الأقواس، cref 4 مما يسمح بكتابة الناتج في صورة a ullet b ullet c بدون أقواس.



وجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد



يوجد عنصر e in G! يحقق المعادلة e ullet a a ullet e a لكل a in g، ويسمى هذا العنصر العنصر المحايد. وهو عنصر وحيد؛ فلا يوجد أكثر من عنصر محايد واحد في الزمرة. cref 5



وجود عنصر معاكس العنصر المعاكس



لكل عنصر a من عناصر G! يوجد عنصر b من G! بحيث a ullet b b ullet a e حيث e هو العنصر المحايد، أي أن تركيب هذين العنصرين بأي ترتيب يساوي العنصر المحايد e. يُسمي العنصر b العنصر المعاكس للعنصر a ورمزه a^ -1 . ومن الواضح أن العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر a محدد بوضوح.



هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر a مع العنصر b ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر b مع العنصر a، فهذه المعادلة

a ullet b b ullet a


قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن a + b b + a لأي عددين صحيحين ( عملية تبديلية إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة a ullet b b ullet a زمرة أبيلية الزمر الأبيلية (تخليدًا ل نيلس هنريك أبيل نيلس أبيل ). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.

كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد 1 أو 1_G!، MathWorld Identity El ent urlname IdentityEl ent وهذا الرمز مأخوذ من 1 (عدد) المحايد الضربي . كما قد يُكتب العنصر المحايد 0 خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ+، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية . وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا id.



المثال الثاني زمرة التماثل



تطابق (هندسة) يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من دوران (هندسة) الدورانات و انعكاس (رياضيات) الانعكاسات و انزلاق (هندسة) الانزلاقات . يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية تناظر التماثلات . للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور


1 text- 0 auto.5 auto


-

group D8 id.svg 140
id(بترك كل عنصر على حاله) group D8 90.svg 140
r1 (بالدوران 90° يمينًا) group D8 180.svg 140
r2 (بالدوران 180° يمينًا) group D8 270.svg 140
r3 (بالدوران 270° يمينًا)
-

group D8 fv.svg 140
fv (بالانعكاس عموديًّا) group D8 fh.svg 140
fh (بالانعكاس أفقيًّا) group D8 f13.svg 140
fd (بالانعكاس القطري) group D8 f24.svg 140
fc (بالانعكاس القطري المعاكس)
-

text- right 4 عناصر زمرة التماثل للمربع (D4). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.




  • دالة محايدة العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.

  • دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و 180° يمينًا و 270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r1 و r2 و r3 على الترتيب.

  • الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين fh و fv، والانعكاس عبر القطرين يعطي fd و fc.



تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r1 ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل fh فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى زمرة زوجية الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D4، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال . Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2.6، ص 54 nb yes يمكن تركيب اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي

b ullet a (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (fh) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (fd). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن

f_h ullet r_3 f_d

1 float text- .5 0 .5 1 40ex height 40ex


+ جدول كايلي جدول زمرة D4
-

! 12 FDD -top black 2 -right black 2 •

! FDD -top black 2 11 id

! FDD -top black 2 11 r1
! FDD -top black 2 11 r2
! FDD - black 2 -top black 2 11 r3
! 11 fv !! 11 fh !! 11 fd !! 11 fc
-

! FDD -right black 2 id

FDD id

FDD r1
FDD r2
FDD - black 2 r3 fv fh fd
FFFC93 - black 2 -right black 2 -top black 2 fc
-

! FDD -right black 2 r1
FDD r1
FDD r2
FDD r3
FDD - black 2 id fc fd fv
FFFC93 - black 2 -right black 2 fh
- height 10

! FDD -right black 2 r2
FDD r2
FDD r3
FDD id

FDD - black 2 r1 fh fv fc
FFFC93 - black 2 -right black 2 fd
- height 10

! FDD -bottom black 2 -right black 2 r3
FDD -bottom black 2 r3
FDD -bottom black 2 id

FDD -bottom black 2 r1
FDD - black 2 -bottom black 2 r2 fd fc
fh
FFFC93 - black 2 -right black 2 -bottom black 2 fv
- height 10

! fv
fv fd fh fc id r2 r1 r3
- height 10

! fh
fh fc fv DDF black 2 fd r2 id r3 r1
- height 10

! fd
fd fh fc fv r3 r1 id r2
- height 10

! fc
9DFF93 -right black 2 -bottom black 2 -top black 2 fc
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fv
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 fd
9DFF93 -bottom black 2 -top black 2 - black 2 fh r1 r3 r2 id
-

9 text- right تشكل العناصر id و r1 و r2 و r3 زمرة جزئية ، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليمين. مجموعة مشاركة المجموعتان المشاركتان اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددتان باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (في العمود الأخير) بالترتيب.


يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D4 المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث a, b, c in D!_4 كالتالي

  1. تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون b ullet a in D!_4 أي أن يكون تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار

    r_3 ullet f_h f_c


    أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.

  2. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c على الترتيب لتكوين تماثل لمربع الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون

    (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


    وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات. فمثلًا (f_d ullet f_v) ullet r_2 f_d ullet (f_v ullet r_2)، ويمكن التأكد من هذا باستخدام الجدول في اليسار، فيلاحَظ أن

    (f_d ullet f_v) ullet r_2 r_3 ullet r_2 r_1، وهذا يساوي

    f_d ullet (f_v ullet r_2) f_d ullet f_h r_1.


    ومع أن شرط التجميعية صحيح في حالتي تركيب تماثلات المربع وجمع الأعداد، فهو ليس صحيحًا لكل العمليات؛ فطرح الأعداد مثلُا ليس عملية تجميعية، فمثلًا (7 − 3) − 2 2، وهذا لا يساوي 7 − (3 − 2) 6.

  3. العنصر المحايد في الزمرة المعطاة أعلاه هو التماثل id لتركه نقاط الشكل دون تغيير تأدية id بعد a (أو a بعد id) يساوي التماثل a، وبتعبير رمزي

    id ullet a a ullet id a.


  4. بالنسبة للزمرة المعطاة يقوم العنصر المعاكس بإبطال تحويلات بعض العناصر الأخرى. كل تماثل في الزمرة المعطاة يمكن إبطاله؛ فكل من التماثل المحايد id والانعكاسات fh و fv و fd و fc والدوران بزاوية 180° (r2)—كل منهم معكوس لذاته، لأن تأدية أحدهم مرتين يُعيد المربع إلى أصله قبل تأديته. بالإضافة إلى أن كلا الدورانين r3 و r1 معكوس للآخر، لأن الدوران 90° ثم إتباعه بدوران 270° (أو العكس بالعكس) يعطي دورانًا بزاوية 360°وينتهي بعدم حدوث تغير في المربع. وبالتعبير الرمزي

    f_h ullet f_h r_3 ullet r_1 r_1 ullet r_3 id.



وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D4، فمثلًا f_h ullet r_1 f_c لكن r_1 ullet f_h f_d. ولذلك فإن الزمرة D4 غير أبيلية.

التاريخ


مقال تفصيلي تاريخ نظرية الزمر


تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ Harvard citations nb yes last وسنغ year Harvard citations last كلينر year 1986 nb yes Harvard citations last سميث year 1906 nb yes فقد كان أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة متعددة الحدود المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال كل من باولو روفيني و جوزيف لاغرانج ، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذر دالة جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا ، مع تبديل (رياضيات) تباديل ما للجذور. رفض معاصرو غالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. Harvard citations last غالوا year 1908 nb yes Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 202 nb yes درس أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمرة تبديلات زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي زمرة منتهية الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه < >حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية خ¸n 1 (المنشور عام 1854 ). Harvard citations last كيلي year 1889 nb yes



كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمرة التماثل زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. Harvard citations last وسنغ year loc القسم الثالث.2 nb yes مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة هندسة زائدية كالهندسة الزائدية و هندسة إسقاطية الهندسة الإسقاطية ، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمرة لي زمر لي عام 1884. Harvard citations last لي year 1973 nb yes

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهو نظرية الأعداد . استعمل كارل فريدريش غاوس بُنى بعض زمرة أبيلية الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان < > استفسارات حسابية (عام 1798 )، كما استعملها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. Harvard citations last كلينر year 1986 loc ص 204 nb yes في عام 1847 ، كان إرنشت كومر من بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة ، وذلك بتطوير زمرة الصنف المثالي زمر تصف تحليل عدد صحيح إلى عدد أولي أعداد أولية . Harvard citations last وسنغ year loc القسم الأول.3.4 nb yes



وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله < >Traité des substitutions et des équations algébriques الصادر عام 1870 . Harvard citations last جوردان year 1870 nb yes أعطى فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. Harvard citations last فون ديك year 1882 nb yes مع بداية قرن 20 القرن العشرين ، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس و ويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي ، وأوراق إيساي شور . Harvard citations last كورتيس year 2003 nb yes درس هيرمان فايل و إيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً و زمرة محلية التراص الزمر محلية التراص عامةً. Harvard citations last ماكي year 1976 nb yes صيغت نظرية زمرة جبرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر عقد 1930 ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل و جاك تيتس لاحقًا. Harvard citations last بورل year 2001 nb yes



نظمت جامعة شيكاغو في 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث علماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين و جون تومسون و فالتر فايت ، وبمساهمة العديد من الرياضياتيين الآخرين تصنيف الزمر المنتهية البسيطة صُنفت كل الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الهائل من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. Harvard citations last أشباخر year 2004 nb yes ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى. cref 1

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر


مقال تفصيلي نظرية الزمر الابتدائية


عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. Harvard citations last ليدرمان year 1953 loc القسم 1.2، ص 4–5 nb yes فمثلًا تُظهر التطبيقات استقراء رياضي المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة

a ullet b ullet c (a ullet b) ullet c a ullet (b ullet c)


تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم I.1، ص 3

يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر و العنصر المعاكس الأيسر المعاكس الأيسر ؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي. Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 7

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة



إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع معرفة (نحو) تعريفهما بقول < >المحايد و< >المعاكس. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 17



لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر a، لنفترض أن للعنصر a عنصران معاكسان b و c في الزمرة (G!, ullet)، حيث




b b ullet e         حيث e هو العنصر المحايد
-

b ullet (a ullet c)         لأن c هو العنصر المعاكس للعنصر a، وبالتالي e a ullet c
-

(b ullet a) ullet c         لأن خاصية التجميعية تقضي بحرية ترتيب الأقواس
-

e ullet c         لأن b هو معاكس a، أي أن b ullet a e
-

c         حيث e هو العنصر المحايد


وبالتالي فإن كلا العنصرين b و c متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر a معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن G! زمرة بها عنصران محايدان e و f، حيث e e ullet f f، وبالتالي فإن e و f متساويان.

القسمة



من الممكن القيام بعملية قسمة القسمة في الزمر ليكن a و b عنصرين من الزمرة G!، إذن هناك حل وحيد x معادلة رياضية للمعادلة x ullet a b. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر a^ -1 من الجهة اليمنى يعطي الحل x x ullet a ullet a^ -1 b ullet a^ -1 . ويوجد بالمثل حل وحيد y في G! للمعادلة a ullet y b، وهو y a^ -1 ullet b. وليس من الضروري عامةً لكل من x و y أن يتفقا.

إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر g من زمرة ما هو دالة تقابلية . وعلى وجه التحديد، إذا كان g عنصرًا من الزمرة G! فإنه يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيسر بـ g، وهو يرسل h in G! إلى g ullet h. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على G! تدعى < >الانزلاق الأيمن بـ g، وهو يرسل h إلى h ullet g. وإذا كانت G! أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.



المفاهيم الأساسية


تُستخدم قائمة الرموز الرياضية رموز رياضية في هذا القسم مثل X! x, y, z للرمز إلى مجموعة (رياضيات) مجموعة X تحتوي عنصر (رياضيات) العناصر x و y و z، أو يُستخدم بدلًا من ذلك x in X! لتوضيح أن x عنصر من X. ويشير الترميز fcolon X
ightarrow Y إلى أن f هي دالة (رياضيات) دالة تربط بكل عنصر من X! عنصرًا من Y.

معلومات أكثر لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر

لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. cref 6 يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في مجموعة (رياضيات) المجموعات )، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عملية (رياضيات) عمليتها . يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف ب زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة . إن مبدأ الحفاظ على البنى هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة (رياضيات) فئة ، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر .

تشاكلات الزمر


مفصلة تشاكل الزمر

تشاكلات الزمر cref 7 هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة acolon G!
ightarrow H! بين الزمرتين (G!, ullet) و (H, *) تشاكلًا إذا تحققت المعادلة 1 a(g ullet k) a(g) * a(k) لكل عنصرين g و k في G!. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أو بعد تطبيق (رياضيات) التطبيق a. وينتج عن هذا الشرط أن a(1_ G! ) 1_ H! ، وأن a(g)^ -1 a(g^ -1 ) لكل g في G!. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية G! كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.3، ص 34

تُوصف الزمرتان G! و H! بأنهما تساوي الشكل متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين acolon G!
ightarrow H! و bcolon H!
ightarrow G! تشاكلًا، أي أن تطبيق كلتا الدالتين تركيب الدوال الواحدة تلو الأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي دالة محايدة الدالتين المحايدتين في G! و H!. أي أن a(b(h)) h و b(a(g)) g لأي g في G! و h في H!.

من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًا يكون إثبات أن g ullet g 1_ G! لعنصر ما g من G! يُكافئ إثبات أن a(g) * a(g) 1_ H! ؛ لأن تطبيق الدالة a على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة b على الثانية يُعيدها إلى الأولى.

الزمر الجزئية


مفصلة زمرة جزئية

إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة H! موجودة في زمرة أكبر G!. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.1، ص 19 ويكون العنصر المحايد للزمرة G! موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة H!، وعندما يكون h_1 و h_2 في H!، يكون h_1 ullet h_2 و h_1^ -1 أيضًا في H!، وبذلك تشكل عناصر H! مزودةً بعملية الزمرة G! المقصورة على H! زمرةً جزئية.

في مثال الزمرة D!_4 المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية R! id, r_1, r_2, r_3 ، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث أن أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هو الدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة 270° مع 90°، و 180° مع 180°، و 90° مع 270° (لاحظ أن الدوران في الاتجاه المعاكس غير معرف). إن اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية H! من الزمرة G! لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من أن g^ -1 h in H! لكل g, h in H!. كما أن معرفة شبكية الزمر الجزئية الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً. cref 8

بإعطاء أي مجموعة جزئية S! من زمرة G!، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها S! من نواتج إخضاع عناصر S! لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من G! تضم S!. Harvard citations nb yes last ليدرمان year 1973 loc القسم II.12، ص 39 وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ r_2 و f_v من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر f_h f_v ullet r_2. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.

المجموعات المشاركة


مفصلة مجموعة مشاركة

من المستحسن في العديد من الحالات أن يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إن اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة D!_4 المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع r_2 بالقيام بعمليات الدوران، أي أن عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا تحدد المجموعة الجزئية H! مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـH! بأي عنصر من عناصرها g. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ H! التي تحتوي العنصر g كالتالي

gH! g ullet hcolon h in H! و H!g h ullet gcolon h in H! بالترتيب. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 41


تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية H! تجزئة مجموعة تجزئة لـ G!، بمعنى أن اتحاد (نظرية المجموعات) اتحاد كل المجموعات المشاركة اليسرى يساوي G!، وتكون كل مجموعتين يسريين إما متساويتين أو غير تقاطع (نظرية المجموعات) متقاطعتين . Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 12 تحدث الحالة الأولى g_1H! g_2H! إذا وفقط إذا كان g_1^ -1 ullet g_2 in H!، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من H!، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ H!. ومن الممكن أن تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن أن لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان gH! H!g لكل g in H!)، تسمى H! حينها زمرة جزئية طبيعية .

في الزمرة D!_4 المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى gR! للزمرة الجزئية R! المكونة من الدورانات إما أن تساوي R! إذا كان g عنصرًا من R! نفسها، أو أن تساوي U! f_cR! f_c, f_v, f_d, f_h (المظللة باللون الأخضر). كما أن R! زمرة جزئية طبيعية، لأن f_cR! U! R!f_c والأمر ينطبق على أي عنصر غير f_c.

زمرة خارج القسمة


مفصلة زمرة خارج القسمة

في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية زمرة جزئية طبيعية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية N!، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي

G! / N! gN!colon g in G! (G!,operatorname modulo ,N!) Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc القسم II.4، ص 45


تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية G!. (gN!)(hN!) (gh)N! لكل g و h في G!. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق G!
ightarrow G! / N! الذي يربط إلى كل عنصر g مجموعته المشاركة gN! يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخاصية الشاملة الخصائص الشاملة . والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة eN! N!، ومعاكس gN! في زمرة خارج القسمة هو (gN!)^ -1 (g^ -1 )N!. cref 9

1 float text- .5 0 .5 1


-

! 30 •

! 33 R

! 33 U

-

! < >R


< >R < >U


-

! < >U


< >U < >R


-

3 text- right جدول الزمرة لزمرة خارج القسمة D!_4 / R!.


عناصر زمرة خارج القسمة D!_4 / R! هي R! نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها U! f_vR!. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا U! ullet U! f_vR! ullet f_vR! (f_v ullet f_v)R! R!. إن كلًّا من الزمرة الجزئية R! id, r_1, r_2, r_3 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن D!_4 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة D!_4 من الزمرة الجزئية R! وخارج القسمة D!_4 / R! يجرَّد بمفهوم يسمى جداء شبه مباشر الجداء شبه المباشر .

تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تبديل (رياضيات) تباديلها أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مجموعة مولدة لزمرة مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية D! بعنصرين r و f (وعلى سبيل المثال r r_1 أي الدوران بزاوية قائمة، و f f_v أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات

r^4 f^2 (r ullet f)^2 1، Harvard citations nb yes last لانغ year 2002 loc القسم I.2، ص 9


تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي ، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل زمرة متقطعة الزمر المتقطعة .


ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية H! من G! على أنها تطبيق دالة تباينية تبايني H!
ightarrow G!، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط صورة عكسية بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات دالة شمولية الشمولية ، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق G!
ightarrow G! / N!. cref 10 إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة (جبر) نواة و صورة (رياضيات) صورة تشاكلات الزمرة و مبرهنة تساوي الشكل الأولى .

أمثلة وتطبيقات


مقال تفصيلي أمثلة الزمر تطبيقات نظرية الزمر

صورة متعددة

رصف

اتجاه vertical

عرض 180

صورة1 Wallpaper group-cm-6

عرض1 150

تعليق1 ثمة نمط دوري في ورق الحائط ينبثق عنه زمرة ورق الحائط .

صورة2 Fundamental group.svg

عرض2 180

تعليق2 تتكون الزمرة الأساسية لمستوًى ما ناقص نقطة (غليظة) من الحلقات حول تلك النقطة. وتلك الزمرة الأساسية هي تساوي الشكل مساوية الشكل الأعداد الصحيحة للأعداد الصحيحة .



تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة mathbb Z! للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرةً ضربية . وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد .

تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية مدلل (رياضيات) بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله زمرة أساسية الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. Harvard citations nb yes last هاتشر year 2002 loc الفصل الأول، ص 30 وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من قائمة المواضيع المتعلقة بالطوبولوجيا الخصائص الطوبولوجية مثل جوار (رياضيات) القرب و دالة مستمرة الاستمرارية إلى خصائص للزمر. cref 11 فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن مثلية التوضع تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى عدد اللفات تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.

في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. cref 12 وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة زمرة زائدية الزمر الزائدية مثلًا. Harvard citations nb yes last1 كورنير last2 دلزان last3 بابادوبولوس year 1990 وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية و نظرية الأعداد .ومن أمثلة تلك الزمر زمرة الصنف المثالي زمرة الصنف و زمرة بيكارد زمر بيكارد . انظر Harvard citations nb yes last نويكيرش year 1999 ، وخاصة القسمين I.12 و I.13

يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفة الخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية ، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. Harvard citations nb yes last شيريش year 1997 ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء و كيمياء و علم الحاسوب تنتفع من أفكارها.

الأعداد


تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة حلقة (رياضيات) بالحلقات و حقل (رياضيات) الحقول . ويشكل المزيد من الفكر جبر مجرد الجبرية المجردة زمرًا، ومنها نموذج النماذج و فضاء متجهي الفضاءات المتجهية و جبر على حقل الجِبار .


الأعداد الصحيحة


لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة mathbb Z! تحت عملية الجمع ورمزها (mathbb Z! , +). ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع (mathbb Z! , cdot)؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا a 2 هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة a cdot b 1 في تلك الحالة هو b frac 1 2 ، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من mathbb Z! يملك معاكسًا ضربيًّا. cref 13

الأعداد الكسرية


إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة كسر (رياضيات) الكسور


frac a b .


وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث b
e 0) عدد كسري بالأعداد الكسرية . cref 14 ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز mathbb Q! . لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب (mathbb Q! , cdot) زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 (عدد) 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد x in mathbb Q! يحقق المعادلة x cdot 0 1)، وبالتالي لا تزال (mathbb Q! , cdot) ليست زمرة.

ورغم ذلك، تشكل مجموعة كل الأعداد الكسرية غير الصفرية mathbb Q! ackslash 0 q in mathbb Q! q
e 0 زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو (mathbb Q! , cdot). cref 15 تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد الصحيحة. كما أن بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري frac a b له معكوس هو frac b a ، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.

تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة mathbb Q! ، ولكلا البنيتين موقع محوري في الجبر المجرد . ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين. cref 16

الحساب النمطي


Clock group.svg تشكل الساعات في الساعة الميكانيكية زمرة تستخدم حساب نمطي مقياس جمع قيمته 12. وهنا يكون 9 + 4 1.

في الحساب النمطي ، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باق (رياضيات) باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية n، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى n - 1 زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر a هو n - a، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع ساعة (وحدة) الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 < >مقياس 12 أو < >بتردد 12، أو بالرموز



9 + 4 equiv 1 operatorname modulo ,12.


ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس n بأحد الرمزين mathbb Z! _n أو mathbb Z! /nZ!.

توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس n زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس color Blue p لأي عدد أولي p. Harvard citations nb yes last لانغ year 2005 loc الفصل السابع وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من 1 إلى p - 1. وعمليتها هي الضرب مقياس p، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على p، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذ ميز مجموعة (رياضيات)

Rubik's cube.svg الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.


مفهوم رياضي زمرة أو مجموعة Group غير معرف G(S, *), إيفاريست جالوا نظرية الزمر
في الرياضيات ، الزمرة إنك Group هي بنية جبرية حقيقة تصف وتُجسد مفهوم التناظر ، تتكون من مجموعة من عنصر (رياضيات) العناصر مزودة عملية ثنائية بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى بديهية البدبهيات وهي انغلاق (رياضيات) الانغلاق و عملية تجميعية التجميعية ووجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في جبر مجرد الجبر المجرد . يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. Harvard citations last هيرستاين year 1975 loc قسم 2، ص 26 nb yes Harvard citations last هول year 1967 loc قسم 1.1، ص 1 nb yes The idea of a group is one which pervades the whole of math atics both pure and applied. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية جمع (رياضيات) الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب ، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة مصفوفة (رياضيات) المصفوفات التي لا تساوي محدد (مصفوفات) محدداتها الصفر و تماثل ذاتي التماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر .



ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر ، زمرة التماثل فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسة رياضية هندسيٍّ تتكون تلك الزمرة من مجموعة من تحويل (هندسة رياضية) التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمرة لي زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم تناظر جزيئي التناظر في الكيمياء الجزيئية ، وتعبر زمرة بوانكاريه زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة .


نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في عقد 1830 ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون كثير حدود معادلة جبرية كثيرة الحدود زمرة قابلة للحلحلة قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذر دالة جذور . بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد و الهندسة ، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870 . أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. cref 1 قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل زمرة جزئية الزمر الجزئية و زمرة خارج القسمة زمر خارج القسمة و زمرة بسيطة الزمر البسيطة . لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف نظرية تمثيل الزمر بتمثيلات الزمر ، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات نظرية الحقل الكمومي كالحقل الكمومي و نظرية الأوتار الأوتار ، وفي معلوماتية (حقل أكاديمي) المعلوماتية توجد زمر التشفير للتشفير و ترميز الترميز و معالجة الصور الرقمية معالجة الصور ، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية زمرة منتهية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983 . cref 2 أصبحت نظرية الزمر الهندسية ، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف عقد 1980 ثمانينيات القرن العشرين .
كلمات مرتبطه: باشمرة الزمرة
 
التعليقات

لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

اعلانات
تصنيفات الموقع
شاهد الجديد لهذه المواقع
بئر السبع ميسوكسيمايد تل هشومير المرجة الزرقاء أسامة بن زيد الغاف خطة عمل روبرك الطاقة الداخلية مذكرات دورية نحو الشرق ايو جيما العياضي برباس العياضي شركة مكافحة حشرات خوارزمية ديكسترا مرفأ بيروت الكايد طاش ما طاش شركة كايد البسقلون كورونا سد حراض الفن البيزنطي عبد السلام بنعبد العالي رائد عودة مستشفى طيبة التخصصي غزوة خيبر شركة فواز لعامة للدراسات والمستندات كلوفيس الأول لمع قطع الغيار جميل خطاب ويلان نظم المعلومات المحاسبية محمود بن محمود البان باقادر مؤسسة بن شيهون الصحة الحقن المجهري الصين معلمات معلومات اتجاه البطولي أرضروم تنافسية شكاوي محمد الحاج سالم تكرلي مبرهنة عدم الاكتمال علاج عرق النسا موقع سنهدريم التكامل العددي كهربا الحكومة الحكومة التونسية مسالك بولية معاهدة فاليتا مستشفي بدر مشاغل مراكز التجميل محمد حافظ الشريدة وديع سعادة مشغل جرافيزم شكا الربان حديقة التجارة نقليات الهباس بن دعجم بطباط حمود بوعلام حميدة معركة ثابسوس براتا البن الاخضر مشروع تخرج الزكاه ديدفورت تاريخ فواصل الكتب توسعة المسجد النبوي نادي الفتح telnet 1978 عصبام اللوزتين سبيكمان 213 الاقتصاد رمادي عادي فندق العليا تشويه سمعه اسماك الأسماك مؤسسة الجهاز القلبي الوعائي
أخبار السعودية اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار قطر اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار الإمارات اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار الكويت اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار السياحة اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار البحرين اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار المغرب اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار الاردن اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار فلسطين اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار عمان اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار لبنان اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار السودان اليوم الاربعاء 19/12/2018 - أخبار الكورة اليوم الاربعاء 19/12/2018 - اعلانات الحراج اليوم الاربعاء 19/12/2018 - اسعار السيارات بالكويت الاربعاء 19/12/2018 - اسعار العقارات بالكويت الاربعاء 19/12/2018